Движение микрочастиц в различных силовых полях описывается в рамках нерелятивистской квантовой механики с помощью уравнения Шредингера, из которого вытекают наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Это уравнение, как и все основные уравнения физики, не выводятся, а постулируется. Его правильность подтверждается согласием результатов расчета с опытом. Волновое уравнение Шредингера имеет следующий общий вид :
- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)
где ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 Дж ∙ с - постоянная Планка;
m - масса частицы;
∆ - оператор Лапласа (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - искомая волновая функция;
U (x, y, z, t) - потенциальная функция частицы в силовом поле, где она движется;
i - мнимая единица.
Это уравнение имеет решение лишь при условиях, накладываемых на волновую функцию:
- ψ (x, y, z, t) должна быть конечной, однозначной и непрерывной;
- первые производные от нее должны быть непрерывны;
- функция | ψ | 2 должна быть интегрируема, что в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей.
∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
где ψ = ψ (x, y, z) - волновая функция только координат;
E - параметр уравнения - полная энергия частицы.
Для этого уравнения реальный физический смысл имеют лишь такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ (называемыми собственными функциями), имеющими место только при определенных значениях параметра E, называемого собственным значением энергии. Эти значения E могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд, т.е. как сплошной, так и дискретный спектр энергий.
Для какой-либо микрочастицы при наличии уравнения Шредингера типа (8.2) задача квантовой механики сводится к решению этого уравнения, т.е. нахождению значений волновых функций ψ = ψ (x, y, z), соответствующих спектру собственных энергией E. Далее находится плотность вероятности | ψ | 2 , определяющая в квантовой механике вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами (x, y, z).
Одним из простейших случаев решения уравнения Шредингера является задача о поведении частицы в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками". Такая "яма" для частицы, движущейся только вдоль оси Х, описывается потенциальной энергией вида
где l - ширина "ямы", а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 8.1).
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
В силу того, что "стенки ямы" бесконечно высокие, частица не проникает за пределы "ямы". Это приводит к граничным условиям:
ψ (0) = ψ (l) = 0
В пределах "ямы" (0 ≤ x ≤ l) уравнение (8.4) сводится к виду:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0
где k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2
Решение уравнения (8.7) с учетом граничных условий (8.5) имеет в простейшем случае вид:
ψ (x) = A ∙ sin (kx)
где k = (n ∙ π)/ l
при целочисленных значениях n.
Из выражений (8.8) и (8.10) следует, что
E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)
т.е. энергия стационарных состояний зависит от целого числа n (называемого квантовым числом) и имеет определенные дискретные значения, называемые уровнями энергии.
Следовательно, микрочастица в "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками" может находится только на определенном энергетическом уровне E n , т.е. в дискретных квантовых состояниях n.
Подставив выражение (8.10) в (8.9) найдем собственные функции
ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x
Постоянная интегрирования А найдется из квантовомеханического (вероятностного) условия нормировки
которое для данного случая запишется в виде:
Откуда в результате интегрирования получим А = √ (2 / l) и тогда имеем
ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)
Графики функции ψ n (х) не имеют физического смысла, тогда как графики функции | ψ n | 2 показывают распределение плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от "стенок ямы"(рис. 8.1). Как раз эти графики (как и ψ n (х) - для сравнения) изучаются в данной работе и наглядно показывают, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.
Из выражения (8.11) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен
∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)
Отсюда видно, что для микрочастиц (типа электрона) при больших размерах "ямы" (l≈ 10 -1 м), энергетические уровни располагаются настолько тесно, что образуют практически непрерывный спектр. Такое состояние имеет место, например, для свободных электронов в металле. Если же размеры "ямы" соизмеримы с атомными (l ≈ 10 -10 м), то получается дискретный спектр энергии (линейчатый спектр). Эти виды спектров также могут быть изучены в данной работе для различных микрочастиц.
Другим случаем поведения микрочастиц (как, впрочем, и микросистем - маятников), часто встречаемым на практике (и рассматриваемым в этой работе), является задача о линейном гармоническом осцилляторе в квантовой механике.
Как известно, потенциальная энергия одномерного гармонического осциллятора массой m равна
U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2
где ω 0 - собственная частота колебаний осциллятора ω 0 = √ (k / m);
k - коэффициент упругости осциллятора.
Зависимость (8.17) имеет вид параболы, т.е. "потенциальная яма" в данном случае является параболической (рис. 8.2).
Квантовый гармонический осциллятор описывается уравнением Шредингера (8.2), учитывающим выражение (8.17) для потенциальной энергии. Решение этого уравнения записывается в виде :
ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)
где N n - постоянный нормирующий множитель, зависящий от целого числа n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) - полином степени n, коэффициенты которого вычисляются при помощи рекуррентной формулы при различных целочисленных n.
В теории дифференциальных уравнений можно доказать, что уравнение Шредингера имеет решение (8.18) лишь для собственных значений энергии:
E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0
где n = 0, 1, 2, 3... - квантовое число.
Это значит, что энергия квантового осциллятора может принимать лишь дискретные значения, т.е. квантуется. При n = 0 имеет место E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, т.е. энергия нулевых колебаний, что является типичным для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенности.
Как показывает детальное решение уравнения Шредингера для квантового осциллятора , каждому собственному значению энергии при разных n соответствует своя волновая функция, т.к. от n зависит постоянный нормирующий множитель
а также H n (x) - полином Чебышева-Эрмита степени n.
При том первые два полинома равны:
H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α
Любой последующий полином связан с нми по следующей рекуррентной формуле:
H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)
Собственные функции типа (8.18) позволяют найти для квантового осциллятора плотность вероятности нахождения микрочастицы как | ψ n (х) | 2 и исследовать ее поведение на различных уровнях энергии. Решение этой задачи затруднительно ввиду необходимости использования рекуррентной формулы. Эта задача успешно может решаться лишь с использованием ЭВМ, что и делается в настоящей работе.
Обще уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний
Статистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. 5 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ (х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Ψ| 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами x и x+dx, y иy+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.
Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера,как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид
где h=h/(2π), m-масса частицы, ∆ -оператор Лапласа (
),
i - мнимая единица, U (х, у, z, t) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ (х, у, z, t) - искомая волновая функция частицы.
Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные
должны быть непрерывны; 3) функция |Ψ| 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).
Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154)
Или в комплексной записи 
. Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид
(217.2)
(учтено, что ω = E/h, k=p/h). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |Ψ| 2 , то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда
,
; (217.3)
Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом p (E = p 2 /(2m)) и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение
которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U= 0 (ми рассматривали свободную частицу).
Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения используя взаимосвязь между Еи р (для данного случая р 2 /(2m)=E -U), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).
Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.
Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящем от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состоянии - состоянии с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U = U(х, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем
,
где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим
откуда после деления на общий множитель е – i (E/ h) t и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию ψ:
(217.5)
Уравнение (217.5) называетсяуравнением Шредингера для стационарных состояний.
В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называютсясобственными. Решения же, которые соответствуютсобственным значениям энергии, называютсясобственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.
Введение
Известно, что курс квантовой механики является одним из сложных для восприятия. Это связано не столько с новым и "необычным" математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов.
В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.
Уравнение Шредингера и физический смысл его решений
Волновое уравнение Шредингера
Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде
где Н -- оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора определяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы в потенциальном поле U(r) оператор действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы
Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным.
Хотя уравнение (1.1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (1.1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (1.1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике.
Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов
то переход к классическому уравнению Гамильтона--Якоби для функции действия S
можно получить из (1.3) формальным преобразованием
Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования
если (1.3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (1.4) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (1.1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.
Легко убедиться, что уравнение (1.1) удовлетворяется при волновой функцией
описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (1.1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.
Покажем, что из уравнения (1.1) следует важное равенство
указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (1.1) на функцию *, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим
Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность оператора, получаем (1.5).
Если в соотношение (1.6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (1.2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности)
где является плотностью вероятности, а вектор
можно назвать вектором плотности тока вероятности.
Комплексную волновую функцию всегда можно представить в виде
где и -- действительные функции времени и координат. Таким образом, плотность вероятности
а плотность тока вероятности
Из (1.9) следует, что j = 0 для всех функций, у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, j= 0 для всех действительных функций.
Решения уравнения Шредингера (1.1) в общем случае изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо одной комплексной функции состояние системы можно описать двумя вещественными функциями и, удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н -- вещественный, то, подставив в (1.1) функцию и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений
при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид
Волновые функции в импульсном представлении.
Фурье-образ волновой функции характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии. Требуется вывести интегральное уравнение для с Фурье-образом потенциала в качестве ядра.
Решение. Между функциями и имеются два взаимно обратных соотношения.
Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения и применить к нему операцию, то с учетом определения 3-мерной -функции,
в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8).
тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь
Предполагая, что волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера
Подставляя сюда вместо и соответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем
В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной к интегрированию по переменной, а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством. Интеграл по обращается в нуль при любом значении лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда
Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как, где.
Необходимо отметить, что из условия нормировки
следует равенство
Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции:
Если здесь сначала выполнить интегрирование по, то мы без труда получим соотношение (2.8).
где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона
в которой и заменены операторами импульса x , y , z и координаты , , :
х → = х, y → = y, z → = z,
| (4.2) |
Уравнение ШредингераЗависящее от времени уравнение Шредингера: где – гамильтониан системы. Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E
Следовательно, θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ). Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:
Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U(): −(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(), где Δ – лапласиан. |
или
Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).
Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид
| ψ() = Eψ(). | (4.3) |
Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.
Так как в стационарном состоянии
| Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ) | (4.4) |
и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.
4.2 . Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками
Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:
Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L
где k = (2mE/ћ 2) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует
Частица может находиться в
каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E n соответствует
волновая функция ψ n (x), которая с учетом
условия нормировки
имеет вид
 |
(4.10) |
В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может
иметь энергию
E < ћ 2 π 2 /(2mL 2).
Состояния частицы ψ n в
одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полностью описывается с помощью
одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.
Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.
4.3 . Гармонический осциллятор
Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид
Допустимые значения полной энергии определяются формулой
| E n = ћω 0 (n + 1/2), n = 0, 1, 2, | (4.13) |
В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического
осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое
описание частицы переходит в классическое.
4.4 . Частица в поле с центральной симметрией
В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид
где радиальная функция R nl (r) и угловая функция Y lm (θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям
| 2 Y lm (θ,φ) = ћ 2 l (l +1)Y lm (θ,φ) | (4.16) |
 Y lm (θ,φ)
= ћ 2 l
(l
+1)Y lm (θ,φ) |
(4.17) |
Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения
l
и собственные функции Y lm (θ,φ) оператора
квадрата момента 2 .
Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные
собственные функции R nl (r),
от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от
радиальной функции R nl (r),
которая в свою очередь определяется потенциалом U(r),
в котором находится частица.
Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в
кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r 0 = ћ 2 /m e e 2 ≈
0.529·10 8 cм.
4.5 . Орбитальный момент количества движения
Собственные значения L 2 и L z являются решением уравнений
2 Y lm (θ,φ) = L 2 Y lm (θ,φ) и z Y lm (θ,φ) = L z Y lm (θ,φ).
Они имеют следующие дискретные значения
L 2 =
ћ 2 l(l
+ 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L z =
ћm,
где m = 0, ± 1,
± 2, ± 3,…,
± l.
Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:
Спектроскопические названия орбитальных моментов l
| l = 0 | s-состояние |
| l = 1 | p-состояние |
| l = 2 | d-состояние |
| l = 3 | f-состояние |
| l = 4 | g-состояние |
| l = 5 | h-состояние |
| и. т. д. |
Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная
волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0
волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции
определяется симметрией сферических функций Y lm (θ,φ).
Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной
задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к
состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия
уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого
решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности
этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина
орбитального момента количества движения L:
| (4.18) |
Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).
Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения
=
= 6.58·10 -22 √6
МэВ·сек ≈ 2.6·10 - 34
Дж·сек.
Пространственное квантование
. Орбитальный момент количества движения является
векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения
квантуется, то и направление
по
отношению к выделенному направлению z, например, к
внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения
Lz =
ћm,
где m изменяется от +l до –l,
т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при
l = 2 величина m принимает
значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не
зависит от m, т. е. от направления вектора
,
что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью
описывается тремя квантовыми числами: n,
l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер
этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что
система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее
значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг
оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция
e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина
mφ кратна 2π. Т.е. величина m
должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух
противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными
значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .
4.6 . Спин
Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:
| 2 = ћ 2 s(s + 1) | (4.19) |
В отличие от орбитального квантового числа l,
которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число
s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым
(включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2,
… , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать
единственное присущее этому типу частиц значение
. Так, спины π-мезонов и К-мезонов
равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2.
Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина,
спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также
как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина
на
любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось
z) может принимать 2s + 1
значение:
s z ћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ,..., ±1/2ћ или 0.
Число s z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.
4.7 . Полный момент количества движения
Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.
Квадрат полного момента имеет значение:
2 = ћ 2 j(j + 1).
Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:
j = l + s, l + s −1,..., |l − s|
Проекция на выделенную ось J z также принимает дискретные значения:
J z = ћj z ; = -j, -j + 1,..., j − 1, j.
Число значений проекции J z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l z и s z , то j z также определена однозначно: j z = l z + s z .
4.8 . Квантовые числа
Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.
Таблица квантовых чисел
| n | Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞. |
| J, j | Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1). |
| L, l | Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1). |
| m | Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0. |
| S, s | Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы определенного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1). |
| s z | Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения s z ћ, где s z = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0. |
| P или π | Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → - (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков - отрицательные. |
| I | Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий |
Для обозначения спинового момента часто используют букву J.
Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это
- Радиальное квантовое число n (1, 2, …, ∞),
- Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
- Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
- Спин протона s =1/2.
Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:
где U 0 ,
а и R – положительные константы (R
– радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно
описать с помощью набора квантовых чисел n,
l, j,
j z ,
однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр
состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со
свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая
система обладает центральной симметрией U = U(r),
то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества
движения l и одной из его проекций
m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет
зависеть от величины m, т. е. состояния будут
вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными
преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии –
дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции
относительно инверсии координат (→
-).
Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может
принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак
волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией –
симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия
определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым
спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым
спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.
Вид волнового уравнения физической системы определяется ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаментальное значение во всем математическом аппарате квантовой механики.
Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью и изотропией пространства и принципом относительности Галилея. В классической механике эти требования приводят к квадратичной зависимости энергии частицы от ее импульса: где постоянная называется массой частицы (см. I, § 4). В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношению для собственных значений энергии и импульса - одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной частицы) величин.
Но для того чтобы соотношение имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов:
Подставив сюда (15,2), получим гамильтониан свободно движущейся частицы в виде
где - оператор Лапласа.
Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов каждой из них:
где индекс а нумерует частицы; - оператор Лапласа, в котором дифференцирование производится по координатам частицы.
В классической (нерелятивистской) механике взаимодействие частиц описывается аддитивным членом в функции Гамильтона - потенциальной энергией взаимодействия являющейся функцией координат частиц.
Прибавлением такой же функции к гамильтониану системы описывается и взаимодействие частиц в квантовой механике:
первый член можно рассматривать как оператор кинетической энергии, а второй - как оператор потенциальной энергии. В частности, гамильтониан для одной частицы, находящейся во внешнем поле,
где U(х, у, z) - потенциальная энергия частицы во внешнем поле.
Подстановка выражений (17,2)-(17,5) в общее уравнение (8,1) дает волновые уравнения для соответствующих систем. Выпишем здесь волновое уравнение для частицы во внешнем поле
Уравнение же (10,2), определяющее стационарные состояния, принимает вид
Уравнения (17,6), (17,7) были установлены Шредингером в 1926 г. и называются уравнениями Шредингера.
Для свободной частицы уравнение (17,7) имеет вид
Это уравнение имеет конечные во всем пространстве решения при любом положительном значении энергии Е. Для состояний с определенными направлениями движения этими решениями являются собственные функции оператора импульса, причем . Полные (зависящие от времени) волновые функции таких стационарных состояний имеют вид
(17,9)
Каждая такая функция - плоская волна - описывает состояние, в котором частица обладает определенными энергией Е и импульсом . Частота этой волны равна а ее волновой вектор соответствующую длину волны называют де-бройлевской длиной волны частицы.
Энергетический спектр свободно движущейся частицы оказывается, таким образом, непрерывным, простираясь от нуля до Каждое из этих собственных значений (за исключением только значения вырождено, причем вырождение - бесконечной кратности. Действительно, каждому отличному от нуля значению Е соответствует бесконечное множество собственных функций (17,9), отличающихся направлениями вектора при одинаковой его абсолютной величине.
Проследим, каким образом происходит в уравнении Шредингера предельный переход к классической механике, рассматривая для простоты всего одну частицу во внешнем поле. Подставив в уравнение Шредингера (17,6) предельное выражение (6,1) волновой функции получим, произведя дифференцирования,
В этом уравнении имеются чисто вещественные и чисто мнимые члены (напомним, что S и а вещественны); приравнивая те и другие в отдельности нулю, получим два уравнения:
Пренебрегая в первом из этих уравнений членом, содержащим получим
(17,10)
т. е., как и следовало, классическое уравнение Гамильтона - Якоби для действия S частицы. Мы видим, кстати, что при классическая механика справедлива с точностью до величин первого (а не нулевого) порядка по включительно.
Второе из полученных уравнений после умножения на 2а может быть переписано в виде
Это уравнение имеет наглядный физический смысл: есть плотность вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства есть классическая скорость v частицы. Поэтому уравнение (17,11) есть не что иное, как уравнение непрерывности, показывающее, что плотность вероятности «перемещается» по законам классической механики с классической скоростью v в каждой точке.
Задача
Найти закон преобразования волновой функции при преобразовании Галилея.
Решение. Произведем преобразование над волновой функцией свободного движения частицы (плоской волной). Поскольку всякая функция может быть разложена по плоским волнам, то тем самым будет найден закон преобразования и для произвольной волновой функции.
Плоские волны в системах отсчета К и К" (К" движется относительно К со скоростью V):
причем а импульсы и энергии частицы в обеих системах связаны друг с другом формулами
(см. I, § 8), Подставив эти выражения в получим
В таком виде эта формула уже не содержит величин, характеризующих свободное движение частицы, и устанавливает искомый общий закон преобразования волновой функции произвольного состояния частицы. Для системы частиц в показателе экспоненты в (1) должна стоять сумма по частицам.
