Простейшие функции их свойства и графики. Функции и графики

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение:

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

аналитический способ (с помощью математической формулы);
табличный способ (с помощью таблицы);
описательный способ (с помощью словесного описания);
графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1

Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1 f(x 2) .

4. Экстремумы

Точка Х max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х max , выполнено неравенство f(х) f(X max).

Значение Y max =f(X max) называется максимумом этой функции.

Х max – точка максимума
У max – максимум

Точка Х min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х min , выполнено неравенство f(х) f(X min).

Значение Y min =f(X min) называется минимумом этой функции.

X min – точка минимума
Y min – минимум

X min , Х max – точки экстремума
Y min , У max – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х 1 ,Х 2 ,Х 3 – нули функции y = f(x).

Задачи и тесты по теме "Основные свойства функции"

Свойства функций - Числовые функции 9 класс
Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1
Свойства логарифмов - Показательная и логарифмическая функции 11 класс
Уроков: 2 Заданий: 14 Тестов: 1
Функция квадратного корня, его свойства и график - Функция квадратного корня. Свойства квадратного корня 8 класс
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
Функции - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике
Заданий: 24
Степенные функции, их свойства и графики - Степени и корни. Степенные функции 11 класс
Уроков: 4 Заданий: 14 Тестов: 1

Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.

Примеры.

1. Найти область определения функции.

Решение: область определения функции находится из условия

следовательно, функция f(x) – четная.

Ответ: четная.

D(f) = [-1; 1] – симметрична относительно нуля.

следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ : ни четная, ни не четная.

1) Область определения функции и область значений функции .

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции .

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции .

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции .

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции .

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.

Основные элементарные функции. Их свойства и графики

1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или.

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , гдеC – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 ,y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Свойства постоянной функции.

Область определения: все множество действительных чисел.

Постоянная функция является четной.

Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .

Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).

Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.

Асимптот нет.

Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n-ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.

Корень n-ой степени, n - четное число.

Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n -ой степени при четных n .

Корень n-ой степени, n - нечетное число.

Функция корень n -ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

Национальный научно-исследовательский университет

Кафедра прикладной геологии

Реферат по высшей математике

На тему: «Основные элементарные функции,

их свойства и графики»

Выполнил:

Проверил:

преподаватель

Определение. Функция, заданная формулой у=а х (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.

Сформулируем основные свойства показательной функции:

1. Область определения - множество (R) всех действительных чисел.

2. Область значений - множество (R+) всех положительных действительных чисел.

3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает.

4. Является функцией общего вида.

, на интервале xÎ [-3;3]

Функция вида у(х)=х n , где n – число ÎR, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

Степенная функция у=х²

1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

2. E(y)= и возрастает на промежутке

Степенная функция у=х³

1. График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами:

2. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

3. E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;

4. При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).

5. Функция возрастает на всей области определения.

6. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).

, на интервале xÎ [-3;3]

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать.

Степенная функция с целым отрицательным показателем:

Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;

3. Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.

4. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.

5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.

, на интервале xÎ [-3;3]

Степенная функция с дробным показателем

Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)

1. D(x) ÎR, если n – нечетное число и D(x)=
, на интервале xÎ
, на интервале xÎ [-3;3]

Логарифмическая функция у = log a x обладает следующими свойствами:

1. Область определения D(x)Î (0; + ∞).

2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞)

3. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

4. Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.

График функции у = log a x может быть получен из графика функции у = а х с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.