Потенциал поля двух зарядов. Разность потенциалов. Электрическое напряжение. Формула

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ.

Электрический заряд q - физическая величина, определяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия.

[q] = l Кл (Кулон).

Атомы состоят из ядер и электронов. В состав ядра входят положительно заряженные протоны и не имеющие заряда нейтроны. Электроны несут отрицательный заряд. Количество электронов в атоме равно числу протонов в ядре, поэтому в целом атом нейтрален.

Заряд любого тела: q = ±Ne , где е = 1,6*10 -19 Кл - элементарный или минимально возможный заряд (заряд электрона), N - число избыточных или недостающих электронов. В замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов остается постоянной:

q 1 + q 2 + … + q n = const.

Точечный электрический заряд - заряженное тело, размеры которого во много раз меньше расстояния до другого наэлектризованного тела, взаимодействующего с ним.

Закон Кулона

Два неподвижных точечных электрических заряда в вакууме взаимодействуют с силами, направленными по прямой, соединяющей эти заряды; модули этих сил прямо пропорциональны произведению зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

Коэффициент пропорциональности

где - электрическая постоянная.

где 12 - сила, действующая со стороны второго заряда на первый, а 21 - со стороны первого на второй.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ

Факт взаимодействия электрических зарядов на расстоянии можно объяснить наличием вокруг них электрического поля - материального объекта, непрерывного в пространстве и способного действовать на другие заряды.

Поле неподвижных электрических зарядов называют электростатическим.

Характеристикой поля является его напряженность.

Напряженность электрического поля в данной точке - это вектор, модуль которого равен отношению силы, действующей на точечный положительный заряд, к величине этого заряда, а направление совпадает с направлением силы.

Напряженность поля точечного заряда Q на расстоянии r от него равна

Принцип суперпозиции полей

Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей каждого из зарядов системы:

Диэлектрическая проницаемость среды равна отношению напряженностей поля в вакууме и в веществе:

Она показывает во сколько раз вещество ослабляет поле. Закон Кулона для двух точечных зарядов q и Q , расположенных на расстоянии r в среде c диэлектрической проницаемостью:

Напряженность поля на расстоянии r от заряда Q равна

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРО-СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Между двумя большими пластинами, заряженными противоположными знаками и расположенными параллельно, поместим точечный заряд q .

Так как электрическое поле между пластинами с напряженностью однородное, то на заряд во всех точках действует сила F = qE , которая при перемещении заряда на расстояние вдоль совершает работу

Эта работа не зависит от формы траектории, то есть при перемещении заряда q вдоль произвольной линии L работа будет такой же.

Работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории, а определяется исключительно начальным и конечным состояниями системы. Она, как и в случае с полем сил тяжести, равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Из сравнения с предыдущей формулой видно, что потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле равна:

Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня и поэтому сама по себе не имеет глубокого смысла.

ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЕ

Потенциальным называется поле, работа которого при переходе из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории. Потенциальными являются поле силы тяжести и электростатическое поле.

Работа, совершаемая потенциальным полем, равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с противоположным знаком:

Потенциал - отношение потенциальной энергии заряда в поле к величине этого заряда:

Потенциал однородного поля равен

где d - расстояние, отсчитываемое от некоторого нулевого уровня.

Потенциальная энергия взаимодействия заряда q с полем равна .

Поэтому работа поля по перемещению заряда из точки с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 составляет:

Величина называется разностью потенциалов или напряжением.

Напряжение или разность потенциалов между двумя точками - это отношение работы электрического поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную к величине этого заряда:

[U]=1Дж/Кл=1В

НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ И РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

При перемещении заряда q вдоль силовой линии электрического поля напряженностью на расстояние Δ d поле совершает работу

Так как по определению, то получаем:

Отсюда и напряженность электрического поля равна

Итак, напряженность электрического поля равна изменению потенциала при перемещении вдоль силовой линии на единицу длины.

Если положительный заряд перемещается в направлении силовой линии, то направление действия силы совпадает с направлением перемещения, и работа поля положительна:

Тогда , то есть напряженность направлена в сторону убывания потенциала.

Напряженность измеряют в вольтах на метр:

[E]=1 B/м

Напряженность поля равна 1 В/м, если напряжение между двумя точками силовой линии, расположенными на расстоянии 1 м, равна 1 В.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ

Если независимым образом измерять заряд Q , сообщаемый телу, и его потенциал φ, то можно обнаружить, что они прямо пропорциональны друг другу:

Величина С характеризует способность проводника накапливать электрический заряд и называется электрической емкостью. Электроемкость проводника зависит от его размеров, формы, а также электрических свойств среды.

Электроёмкостъ двух проводников - отношение заряда одного из них к разности потенциалов между ними:

Емкость тела равно 1 Ф , если при сообщении ему заряда 1 Кл оно приобретает потенциал 1 В.

КОНДЕНСАТОРЫ

Конденсатор - два проводника, разделенные диэлектриком, служащие для накопления электрического заряда. Под зарядом конденсатора понимают модуль заряда одной из его пластин или обкладок.

Способность конденсатора накапливать заряд характеризуется электроемкостью, которая равна отношению заряда конденсатора к напряжению:

Емкость конденсатора равна 1 Ф, если при напряжении 1 В его заряд равен 1 Кл.

Емкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин S , диэлектрической проницаемости среды, и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами d :

ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО КОНДЕНСАТОРА.

Точные эксперименты показывают, что W=CU 2 /2

Так как q = CU , то

Плотность энергии электрического поля

где V = Sd - объем, занимаемый полем внутри конденсатора. Учитывая, что емкость плоского конденсатора

а напряжение на его обкладках U=Ed

получаем:

Пример. Электрон, двигаясь в электрическом поле из точки 1 через точку 2, увеличил свою скорость от 1000 до 3000 км/с. Определите разность потенциалов между точками 1 и 2.

Электростатическое поле - это потенциальное поле. Понятие о потенциальных силовых полях было введено в курсе механики. Поле называется потенциальным, если работа сил этого поля при перемещении из одной точки в другую не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положениями.

Потенциальным является любое центральное поле, в котором сила зависит только от расстояния до силового центра и направлена по радиусу. Доказательство этого утверждения рассматривалось в курсе механики. Электростатическое поле, создаваемое уединенным точечным зарядом, описывается законом Кулона. Это поле сферически-симметрично и представляет собой частный случай центрального поля. Отсюда следует потенциальный характер электростатического поля точечного заряда.

В соответствии с принципом суперпозиции напряженность электростатического поля, создаваемого любым, сколь угодно сложным распределением неподвижных зарядов, представляет собой векторную сумму напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Сила, действующая на перемещаемый пробный заряд, определяется полной напряженностью поля. Поэтому работа при перемещении пробного заряда равна сумме работ сил, действующих со стороны отдельных точечных зарядов. Работа каждой такой силы не зависит от формы траектории. Поэтому и суммарная работа - работа результирующей силы - также не зависит от траектории, что и доказывает потенциальный характер любого электростатического поля.

Потенциальная энергия. Для заряда в электростатическом поле, как и в случае любого потенциального поля, можно ввести понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия заряда в любой точке поля определяется как работа, совершаемая силами поля при перемещении заряда из этой точки в некоторую фиксированную точку, потенциальная энергия в которой принята равной нулю. Можно сказать и иначе: эта потенциальная энергия равна работе, совершаемой внешними силами при переносе заряда из выбранной фиксированной точки в данную точку поля. Выбор фиксированной точки нулевого значения потенциальной энергии произволен. Поэтому потенциальная энергия заряда в поле определена с точностью до некоторой аддитивной постоянной. Такая неоднозначность потенциальной энергии никак не сказывается на физических результатах, поскольку во всех конкретных расчетах имеет значение только изменение энергии при переносе заряда из одной точки поля в другую.

Потенциал электрического поля. Действующая на заряд сила в электрическом поле Е пропорциональна заряду: Поэтому и совершаемая при некотором перемещении заряда работа, и его

потенциальная энергия также пропорциональны заряду Вследствие этого удобно рассматривать потенциальную энергию в расчете на единицу заряда. Возникающая при этом энергетическая характеристика электростатического поля называется потенциалом.

Потенциал в некоторой точке поля определяется как отношение работы А, совершаемой силами поля при перемещении пробного заряда из данной точки поля в фиксированную точку, потенциал которой принят равным нулю, к этому заряду:

Физический смысл имеет только разность потенциалов между какими-либо точками, а не сами по себе значения потенциалов этих точек.

Потенциал поля точечного заряда. Для электростатического поля точечного заряда удобно в качестве точки с нулевым потенциалом выбрать бесконечно удаленную точку. Тогда выражение для потенциала точки, отстоящей на расстояние от заряда создающего поле, имеет вид

Напомним, что в системе единиц СГСЭ и в СИ. Соответственно формула (2) записывается в одном из двух видов:

Подчеркнем, что в формулах (2) и (2а) для потенциала стоит заряд создающий поле (а не модуль заряда, как в формулах (4) и (4а) предыдущего параграфа для модуля напряженности поля). Потенциал поля, создаваемого положительным зарядом всюду положителен, так как работа сил этого поля при перемещении положительного пробного заряда в бесконечность из любой точки поля положительна. Аналогично, потенциал поля отрицательного заряда всюду отрицателен. Все это, как и сами формулы (2) и (2а), справедливо, разумеется, при выборе точки нулевого потенциала на бесконечности.

Такой же формулой (2) выражается и потенциал поля снаружи равномерно заряженного шара, так как его поле неотличимо от поля такого же точечного заряда, помещенного в центр шара. Во всех точках внутри такого шара, где напряженность поля равна нулю, потенциал одинаков и имеет такое же значение, как и на поверхности шара.

Потенциальная энергия некоторого заряда помещенного в электростатическое поле, равна произведению на потенциал той точки поля, где находится этот заряд:

Если заряд находится в поле, создаваемом другим точечным зарядом то его потенциальная энергия, с учетом (2), имеет вид

При одноименных зарядах т. е. при отталкивании, потенциальная энергия положительна и убывает при разведении зарядов. При разноименных зарядах, т. е. при притяжении, электростатическая потенциальная энергия, как и потенциальная энергия в гравитационном поле, отрицательна и возрастает при разведении зарядов.

Принцип суперпозиции для потенциала. В соответствии с принципом суперпозиции потенциал произвольной точки поля нескольких зарядов, как следует из определения потенциала, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке всеми зарядами:

При этом точка нулевого потенциала выбирается общей для всех зарядов.

Работа электрического поля. Напряжение. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении некоторого заряда из одной точки в другую, равна произведению переносимого заряда на разность потенциалов между начальной и конечной точками:

Выражение (6) следует из определения потенциала.

Разность потенциалов между двумя точками обычно называют напряжением между точками (или просто напряжением)

Как видно из (6), работа сил поля при перемещении заряда из одной точки в другую равна произведению переносимого заряда на напряжение:

Потенциал, разность потенциалов и напряжение измеряются в одних и тех же единицах. В СГСЭ эта единица не имеет специального названия, а в СИ единица напряжения называется вольт При перемещении заряда в один кулон между точками с разностью потенциалов один вольт электрические силы совершают работу один джоуль:

Эквипотенциальные поверхности. Наглядное графическое изображение электростатических полей возможно не только с помощью картины силовых линий, дающей представление о напряженности в каждой точке поля, но и с помощью эквипотенциальных поверхностей. Эквипотенциальная поверхность это множество точек, в которых потенциал имеет одно и то же значение.

Рис. 13. Линии напряженности и эквипотенциальные поверхности электрического паля точечного зарада

Обычно изображают сечение этих поверхностей какой-либо плоскостью (плоскостью чертежа), поэтому на рисунках они выглядят линиями. Например, для электростатического поля точечного заряда эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические сферы с общим центром в точке, где находится создающий поле заряд. На рис. 13 сечения этих сфер выглядят как концентрические окружности.

Силовые линии электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Действительно, если мысленно перемещать пробный заряд по эквипотенциальной поверхности, то работа, как видно из (8), равна нулю. Таким образом, сила электрического поля работы не совершает, а это возможно, если сила перпендикулярна перемещению.

Два способа изображения электростатических полей - силовыми линиями и эквипотенциальными поверхностями - эквивалентны: имея одну из этих картин, можно легко построить другую. Особенно наглядны рисунки, на которых изображены обе эти картины (рис. 14).

Рис. 14. Линии напряженности и эквипотенциальные поверхности поля разноименных (а) и одноименных (б) одинаковых по модулю точечных зарядов

Связь напряженности и потенциала. Напряженность электростатического поля и его потенциал связаны друг с другом. Эту связь легко найти, рассматривая работу сил поля при столь малом перемещении пробного заряда, чтобы напряженность поля можно было считать постоянной. С одной стороны, эта работа равна скалярному произведению силы на перемещение, т. е. . С другой стороны, эта работа, в соответствии с (8), равна произведению заряда на разность потенциалов, т. е. Знак минус здесь возникает потому, что приращение потенциала по определению равно разности значений потенциала в конечной и начальной точках: Приравнивая оба выражения для работы, получаем

Скалярное произведение можно представить как произведение проекции напряженности на направление вектора перемещения и модуля этого перемещения

Направление перемещения можно выбрать произвольно. Выбирая его вдоль одной из осей координат, из (10) получаем выражение для проекции вектора Е на соответствующую ось:

Подчеркнем, что в числителях этих выражений, в соответствии с (9), стоят приращения потенциала при малых перемещениях вдоль соответствующих осей координат.

Энергия системы зарядов. До сих пор мы рассматривали потенциальную энергию некоторого заряда, помещенного в электростатическое поле, создаваемое другими зарядами, расположение которых в пространстве считалось неизменным. Однако по физической природе пробные заряды и заряды - источники поля ничем не отличаются, а потенциальная энергия заряда в поле - это энергия взаимодействия этих зарядов. Поэтому в некоторых случаях бывает удобно придать выражению для потенциальной энергии симметричный вид, чтобы все заряды - и источники поля, и пробные - фигурировали как равноправные. Для двух взаимодействующих точечных зарядов такой симметричный вид выражения потенциальной энергии уже был найден - это формула (4). В ней принимается, что потенциальная энергия равна нулю, когда заряды разведены на бесконечно большое расстояние.

В более сложных случаях, когда рассматривается несколько взаимодействующих зарядов, принимается, что потенциальная энергия взаимодействия равна нулю при каком-либо определенном взаимном расположении этих зарядов. Удобно (хотя и необязательно) в

качестве этой конфигурации выбрать такое расположение, когда все взаимодействующие заряды удалены друг от друга на бесконечные расстояния. Потенциальная энергия системы во всякой иной конфигурации определяется как работа, совершаемая всеми силами взаимодействия при переходе системы из этой конфигурации в положение с нулевой потенциальной энергией. В то же время эта потенциальная энергия равна работе, совершаемой внешними силами при переносе всех зарядов из положения с нулевой потенциальной энергией в заданную конфигурацию.

Энергия взаимодействия системы неподвижных точечных зарядов выражается формулой

где - потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме в той точке, где находится заряд:

Здесь - расстояние между зарядами.

Для доказательства формулы (12) можно использовать метод математической индукции. Прежде всего отметим, что для

2 эта формула совпадает с полученной ранее формулой (4): сумма по содержит два слагаемых:

где в соответствии с (13)

Подставляя эти значения в (14), получаем формулу (4).

Теперь предположим, что формула (12) справедлива для точечных зарядов, и докажем ее справедливость для системы зарядов. При внесении заряда из бесконечности энергия системы изменится на величину, равную работе, совершаемой внешними силами:

Здесь согласно предположению, определяется формулой (12), а работа, совершаемая внешними силами при перемещении заряда из бесконечности в точку поля с потенциалом равна где

Потенциал этой точки поля, создаваемый всеми зарядами, кроме

После внесения заряда изменяются потенциалы всех точек поля, кроме той, где находится этот заряд. Потенциал точки, в которой находится заряд, теперь будет равен

Выразим энергию системы зарядов (15) через новые значения потенциалов с помощью соотношений (17):

Сумма произведений на второе слагаемое в скобках в правой части этого равенства, в силу формулы (16), равна Поэтому

Таким образом, формула (12) для энергии системы точечных зарядов доказана.

Докажите, что электростатическое поле, создаваемое уединенным точечным зарядом, потенциально.

Докажите, что поле, создаваемое любым распределением неподвижных электрических зарядов, потенциально.

Что означает принцип суперпозиции применительно к энергетической характеристике электростатического поля - потенциалу?

Докажите справедливость формулы (6), рассматривая работу поля при перемещении заряда из начальной точки I в бесконечность, а затем из бесконечности в точку 2.

Чему равна работа сил электростатического поля при перемещении заряда по замкнутому контуру?

Докажите, что поле потенциально, если работа сил этого поля при перемещении по любому замкнутому контуру равна нулю.

Нарисуйте картину силовых линий и эквипотенциальных поверхностей однородного электростатического поля.

Может ли существовать электростатическое поле, силовые линии которого представляют собой параллельные прямые с переменной густотой (рис. 15)?

В чем различие понятия потенциальной энергии пробного заряда, находящегося в электростатическом поле двух зарядов, и понятия потенциальной энергии всех трех зарядов?

Вывод формулы. Докажем справедливость формулы (2) для потенциала уединенного точечного заряда. Потенциал в точке Р, находящейся на расстоянии от заряда равен работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из точки Р в бесконечно удаленную точку. Поскольку сила, действующая на единичный заряд, равна напряженности поля Е, то выражение для интересующей нас работы, равной потенциалу в точке Р, запишется в виде

Интегрирование здесь может выполняться вдоль любого пути, проходящего из точки Р в бесконечность, так как работа сил потенциального поля не зависит от формы траектории. Выберем этот путь вдоль прямой, проходящей из заряда через данную точку Р на бесконечность. Поскольку напряженность поля Е направлена вдоль этой прямой (от заряда при и к заряду при то скалярное произведение можно записать как

если начало координат выбрано в точке, где находится заряд Интегрирование в (18) теперь выполняется в пределах от до

О модели точечного заряда. Обратим внимание на то, что и напряженность, и потенциал поля точечного заряда неограниченно возрастают (стремятся к бесконечности) при приближении точки Р к тому месту, где расположен создающий поле заряд. Физически это бессмысленно, так как соответствует обращению в бесконечность и силы, действующей на пробный заряд, и его потенциальной энергии. Все это говорит о том, что сама модель точечного заряда имеет ограниченную область применимости.

В какой мере для элементарных частиц можно использовать модель точечного заряда? Эксперименты на больших ускорителях показали, что нуклоны обладают внутренней структурой. Заряд в них распределен некоторым образом по объему, причем не только у протона, но даже и у нейтрона, который в целом электрически нейтрален. Что касается электронов, то для них модель точечного заряда «работает» вплоть до расстояний порядка так называемого классического радиуса электрона см.

Напряженность как градиент потенциала. Вернемся теперь к формулам выражающим напряженность любого электростатического поля через его потенциал. Из формул (11) следует, что проекции вектора Е напряженности поля на оси координат можно рассматривать как взятые с противоположным знаком производные по соответствующим координатам от потенциала скалярной функции координат При вычислении любой из этих производных, например по х, две другие переменные, у и нужно считать фиксированными. Такие производные функции нескольких переменных в математике называют частными производными и обозначают как Вектор, проекции которого равны частным производным скалярной функции по соответствующим координатам, называется градиентом этой скалярной функции. Таким образом, напряженность Е электрического поля - это взятый со знаком минус градиент потенциала. Записывают это следующим образом:

Здесь V - символический вектор, проекции которого на оси координат - операции дифференцирования:

Орты декартовой системы координат.

Чем быстрее меняется в пространстве потенциал, тем больше модуль его градиента, т. е. модуль напряженности электрического поля. «Смотрит» вектор напряженности в том направлении, в котором потенциал убывает быстрее всего, т. е. перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям. Увидеть, что вектор Е направлен именно таким образом, можно с помощью формулы (9): если из рассматриваемой точки совершить одинаковые по модулю перемещения во всевозможных направлениях, то наибольшее изменение потенциала произойдет тогда, когда это перемещение направлено вдоль вектора Е.

На каком свойстве электростатического поля основан выбор пути интегрирования в формуле (18)?

Почему для поля точечного заряда точку нулевого значения потенциала нельзя выбрать в том месте, где находится сам заряд?

Объясните, почему напряженность электрического поля направлена в сторону наибыстрейшего убывания потенциала.

Выберем в электрическом поле, например в поле между положительно заряженной пластинкой и отрицательно заряженным шариком, две какие-либо точки 1 и 2 (рис. 39) и перенесем положительный заряд по произвольному пути 1-3-2 из точки 1 в точку 2. Мы уже знаем (§ 20), что работа, совершаемая электрическими силами при движении заряда, не зависит от формы пути, по которому перемещается заряд. Поэтому работа на пути 1-3-2 будет такая же, как и на пути 1-4-2, и вообще на любом пути, проведенном между точками 1 и 2. Так как сила, действующая на заряд , пропорциональна этому заряду (§ 14), то и работа на каждом отрезке пути, а следовательно, и полная работа будут также пропорциональны . Поэтому для заданного поля отношение для всех зарядов будет иметь одно и то же значение и, следовательно, может служить характеристикой поля. Эта величина играет важную роль в физике и электротехнике; она получила название разности электрических потенциалов или электрического напряжения между точками 1 и 2. Таким образом, разность потенциалов (или электрическое напряжение) между точками 1 и 2 есть отношение работы, которую совершают электрические силы при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, к этому заряду.

Рис. 39. К понятию разности потенциалов

Если обозначить через электрическую разность потенциалов между точками 1 и 2, то работа, совершаемая электрическими силами при переходе заряда из точки 1 в точку 2, выразится формулой

И работа , и заряд в формуле (21.1) могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому разность потенциалов является алгебраической величиной. Она положительна, если силы поля совершают над положительным зарядом при переходе его из точки 1 в точку 2 положительную работу (или над отрицательным зарядом – отрицательную работу). Разность потенциалов отрицательна, если при переходе положительного заряда из точки 1 в точку 2 силы поля совершают над ним отрицательную работу (или над отрицательным зарядом – положительную работу).

Из формулы (21.1) следует, что модуль и знак разности потенциалов совпадают с модулем и знаком работы, совершаемой силами поля над единичным положительным зарядом при перемещении его из точки 1 в точку 2. Очевидно, что

В СИ единица разности потенциалов получила название вольт (В). Согласно (21.1), один вольт есть такая разность потенциалов (или такое напряжение) между двумя точками, при которой перемещение между этими точками положительного заряда, равного одному кулону, сопровождается совершением над ним силами электрического поля работы, равной одному джоулю:

Из определения разности потенциалов следует (рис. 39)

, . (21.3)

Применяя эти соотношения, нужно внимательно следить за знаками. Если, например, В, а В, то В. Если В, а В, то В и т. п.

Из сказанного выше ясно, что физический смысл имеет только разность потенциалов (или напряжение) между двумя какими-либо точками в электрическом поле, так как работа по переносу заряда в поле определена только тогда, когда заданы и начало и конец этого пути переноса. Поэтому, когда мы говорим об электрическом напряжении, то всегда имеем в виду две точки, между которыми существует это напряжение. Когда по некоторой небрежности речи говорят о напряжении или потенциале в одной какой-либо точке, то всегда подразумевают разность потенциалов между этой точкой и какой-то другой, выбранной заранее.

Иногда условно приписывают какой-либо точке поля, от которой отсчитывают разности потенциалов для всех других точек, потенциал, равный нулю, а каждой другой точке поля приписывают потенциал, равный разности потенциалов поля между данной точкой и «нулевой». Такое приписывание каждой точке поля определенного «потенциала» имеет совершенно условный характер. Оно аналогично тому условию, которым пользуются геодезисты при нивелировке местности, приписывая каждой точке на земной поверхности определенную «высоту» и разумея при этом его высоту над уровнем моря, который произвольно принимается за нуль для отсчета высот. Мы могли бы, однако, с таким же успехом отсчитывать все высоты не от уровня моря, а от любой иной точки, например от восточной вершины Эльбруса. Уровню моря соответствовала бы при этом высота, равная км, а высоты всех пунктов на земле уменьшились бы на столько же, но это не имело бы никакого значения, ибо реальное физическое значение имеет только разность высот двух точек, которая, конечно, остается прежней.

Точно так же, выбрав для отсчета разностей потенциалов иную «нулевую» точку, мы получили бы для точки, значение потенциала которой ранее принималось равным нулю, какое-то иное значение, скажем +100 В (или -30 В). Все значения «потенциала» в отдельных точках поля увеличились бы тоже на 100 В (или уменьшились на 30 В), но это не имело бы никакого значения, ибо разность потенциалов между любыми точками осталась бы прежней, а, как мы подчеркивали выше, реальный физический смысл имеет только разность потенциалов (или напряжение) между двумя точками.

Конечно, удобство измерения требует, чтобы потенциал избранной точки во все время измерения оставался неизменным; иначе отсчитанные от этой точки значения потенциалов других точек поля были бы несравнимы между собой, что крайне затруднило бы пользование этим способом характеристики поля. Положение было бы столь же неудобным, как положение геодезиста, который при нивелировке принял бы за нуль высоты высоту движущегося воздушного шара.

Лекция 6. Потенциал электрического поля. Контрольная работа № 2

Потенциал относится к самым сложным понятиям электростатики. Учащиеся выучивают определение потенциала электростатического поля, решают многочисленные задачи, но у них нет ощущения потенциала, они с трудом соотносят теорию с реальностью. Поэтому роль учебного эксперимента в формировании понятия потенциала весьма высока. Нужны такие опыты, которые, с одной стороны, иллюстрировали бы абстрактные теоретические представления о потенциале, а с другой, показывали полную обоснованность экспериментом введения понятия потенциала. Стремиться к особой точности количественных результатов в этих опытах скорее вредно, чем полезно.

6.1. Потенциальность электростатического поля

На изолирующей подставке укрепим проводящее тело и зарядим его. На длинной изолированной нити подвесим лёгкий проводящий шарик и сообщим ему пробный заряд, одноимённый с зарядом тела. Шарик оттолкнётся от тела и из положения 1 перейдёт в положение 2. Так как высота шарика в поле тяготения увеличилась на h , потенциальная энергия его взаимодействия с Землёй возросла на mgh. Значит, электрическое поле заряженного тела совершило над пробным зарядом некоторую работу.

Повторим опыт, но в начальный момент не просто отпустим пробный шарик, а толкнём его в произвольном направлении, сообщив ему некоторую кинетическую энергию. При этом обнаружим, что двигаясь из положения 1 по сложной траектории, шарик в конечном итоге остановится в положении 2 . Сообщённая шарику в начальный момент кинетическая энергия, очевидно, израсходовалась на преодоление сил трения при движении шарика, а электрическое поле совершило над шариком ту же работу, что и в первом случае. В самом деле, если уберём заряженное тело, то тот же самый толчок пробного шарика приводит к тому, что из положения 2 он возвращается в положение 1 .

Таким образом, опыт наводит на мысль, что работа электрического поля над зарядом не зависит от траектории движения заряда, а определяется лишь положениями её начальной и конечной точек. Иными словами, на замкнутой траектории работа электростатического поля всегда равна нулю. Поля, обладающие таким свойством, называются потенциальными.

6.2. Потенциальность центрального поля

Опыт показывает, что в электростатическом поле, создаваемом заряженным проводящим шаром, действующая на пробный заряд сила всегда направлена от центра заряженного шара, она монотонно уменьшается с увеличением расстояния и на равных расстояниях от него имеет одинаковые значения. Такое поле называется центральным . Пользуясь рисунком, нетрудно убедиться, что центральное поле потенциально.

6.3. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле

Гравитационное поле, как и электростатическое, потенциально. Кроме того, математическая запись закона всемирного тяготения совпадает с записью закона Кулона. Поэтому при исследовании электростатического поля имеет смысл опираться на аналогию между гравитационным и электростатическим полями.

В небольшой области вблизи поверхности Земли гравитационное поле можно считать однородным (рис. а ).

На тело массой m в этом поле действует постоянная по модулю и направлению сила f = тg . Если предоставленное самому себе тело падает из положения 1 в положение 2 , то сила тяготения совершает работу A = fs = mgs = mg (h 1 – h 2).

Это же самое мы можем сказать иначе. Когда тело находилось в положении 1 , система Земля–тело обладала потенциальной энергией (т.е. способностью совершить работу) W 1 = mgh 1 . Когда тело перешло в положение 2 , рассматриваемая система стала обладать потенциальной энергией W 2 = mgh 2 . Совершённая при этом работа равна разности потенциальных энергий системы в конечном и начальном состояниях, взятой с обратным знаком: А = – (W 2 – W 1).

Обратимся теперь к электрическому полю, которое, напомним, как и гравитационное, является потенциальным. Представим, что силы тяжести нет, а вместо поверхности Земли имеется плоская проводящая пластина, заряженная (для определённости) отрицательно (рис. б ). Введём координатную ось Y и над пластиной расположим положительный заряд q . Понятно, что, поскольку сам по себе заряд не существует, над пластиной находится какое-то тело определённой массы, несущее электрический заряд. Но, поскольку мы считаем поле тяжести отсутствующим, то и принимать во внимание массу заряженного тела не будем.

Итак, на положительный заряд q со стороны отрицательно заряженной плоскости действует сила притяжения f = qE , где E – напряжённость электрического поля. Так как электрическое поле однородно, то во всех его точках на заряд действует одна и та же сила. Если заряд перемещается из положения 1 в положение 2 , то электростатическая сила совершает над ним работу А = fs = qE s = qE (y 1 – y 2).

То же самое мы можем выразить другими словами. В положении 1 находящийся в электростатическом поле заряд обладал потенциальной энергией W 1 = qEy 1 , а в положении 2 – потенциальной энергией W 2 = qEy 2 . При переходе заряда из положения 1 в положение 2 электрическое поле заряженной плоскости совершило над ним работу А = –(W 2 – W 1).

Напомним, что потенциальная энергия определена лишь с точностью до слагаемого: если нулевое значение потенциальной энергии выбрать в другом месте оси Y , то в принципе ничего не изменится.

6.4. Потенциал однородного электростатического поля

Если потенциальную энергию заряда в электростатическом поле разделить на величину этого заряда, то получим энергетическую характеристику самого поля, которую назвали потенциалом :

Потенциал в системе СИ выражают в вольтах : 1 В = 1 Дж/1 Кл.

Если в однородном электрическом поле ось Y направить параллельно вектору напряжённости E , то потенциал произвольной точки поля будет пропорционален координате точки: причём коэффициентом пропорциональности является напряжённость электрического поля.

6.5. Разность потенциалов

Потенциальная энергия и потенциал определяются лишь с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора их нулевых значений. Однако работа поля имеет вполне определённое значение, поскольку определяется разностью потенциальных энергий в двух точках поля:

А = –(W 2 – W 1) = –( 2 q – 1 q ) = q ( 1 – 2).

Работа по перемещению электрического заряда между двумя точками поля равна произведению заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек. Разность потенциалов иначе называют напряжением .

Напряжение между двумя точками равно отношению работы поля при перемещении заряда из начальной точки в конечную к этому заряду:

Напряжение, как и потенциал, выражается в вольтах.

6.6. Разность потенциалов и напряжённость

В однородном электрическом поле напряжённость направлена в сторону убывания потенциала и, согласно формуле = Еy , разность потенциалов равна U = 1 – 2 = Е (у 1 – y 2). Обозначив разность координат точек у 1 – y 2 = d , получаем U = Ed .

В эксперименте вместо непосредственного измерения напряжённости проще определять разность потенциалов и затем вычислять модуль напряжённости по формуле

где d – расстояние между двумя точками поля, близко расположенными в направлении вектора Е . При этом в качестве единицы напряжённости используют не ньютон на кулон, а вольт на метр:

6.7. Потенциал произвольного электростатического поля

Опыт показывает, что отношение работы по перемещению заряда из бесконечности в данную точку поля к величине этого заряда остаётся неизменным: = А /q . Это отношение принято называть потенциалом данной точки электростатического поля , принимая потенциал в бесконечности равным нулю.

6.8. Принцип суперпозиции для потенциалов

Любое как угодно сложное электростатическое поле можно представить в виде суперпозиции полей точечных зарядов. Каждое такое поле в выбранной точке имеет определённый потенциал. Поскольку потенциал является скалярной величиной, результирующий потенциал поля всех точечных зарядов есть алгебраическая сумма потенциалов 1 , 2 , 3 , … полей отдельных зарядов: = 1 + 2 + 3 + ... Это соотношение является прямым следствием принципа суперпозиции электрических полей.

6.9. Потенциал поля точечного заряда

Обратимся теперь к сферическому (точечному) заряду. Выше показано, что напряжённость электрического поля, созданного равномерно распределённым по сфере зарядом Q , не зависит от радиуса сферы. Представим, что на некотором расстоянии r от центра сферы находится пробный заряд q . Напряжённость поля в точке, где находится заряд,

На рисунке изображён график зависимости силы электростатического взаимодействия между точечными зарядами от расстояния между ними. Чтобы найти работу электрического поля при перемещении пробного заряда q с расстояния r до расстояния R , разобьём этот промежуток точками r 1 , r 2 ,..., r п на равные отрезки. Средняя сила, действующая на заряд q в пределах отрезка [rr 1 ], равна

Работа этой силы на этом участке:

Аналогичные выражения для работы получатся для всех других участков. Поэтому полная работа:

Одинаковые слагаемые с противоположными знаками уничтожаются, и окончательно получаем:

– работа поля над зарядом

– разность потенциалов

Теперь, чтобы найти потенциал точки поля относительно бесконечности, устремляем R к бесконечности и окончательно получаем:

Итак, потенциал поля точечного заряда обратно пропорционален расстоянию до заряда.

6.10. Эквипотенциальные поверхности

Поверхность, в каждой точке которой потенциал электрического поля имеет одно и то же значение, называется эквипотенциальной. Эквипотенциальные поверхности поля заряженного шара нетрудно продемонстрировать подвешенным на нити пробным зарядом, как это показано на рисунке.

На втором рисунке электростатическое поле двух разноимённых зарядов представлено силовыми (сплошные) и эквипотенциальными (пунктирные) линиями.

Исследование 6.1. Разность потенциалов

Задание . Разработайте простой опыт, позволяющий ввести понятие разности потенциалов, или напряжения.

Вариант выполнения. Два металлических диска на изолирующих подставках установите параллельно друг другу на расстоянии примерно 10 см. Диски зарядите равными по модулю и противоположными по знаку зарядами. Зарядите шарик электростатического динамометра зарядом, например, q = 5 нКл (см. исследование 3.6), и введите его в область между дисками. При этом стрелка динамометра покажет определённое значение силы, действующей на шарик. Зная параметры динамометра, вычислите значение модуля силы (см. исследование 3.6). Например, в одном из наших опытов стрелка динамометра показала значение х = 2 см, следовательно, согласно формуле модуль силы f = Kх = 17 10 –5 Н.

Перемещая динамометр, покажите, что во всех точках поля между заряженными дисками на пробный заряд действует одна и та же сила. Перемещая динамометр так, чтобы пробный заряд прошёл путь s = 5 см в направлении действующей на него силы, спросите учащихся: какую работу совершает над зарядом электрическое поле? Добейтесь понимания, что работа поля над зарядом по модулю равна

А = fs = 8,5 10 –6 Дж, (6.3)

причём она положительна, если заряд перемещается по направлению напряжённости поля, и отрицательна, если в противоположном направлении. Вычислите разность потенциалов между начальным и конечным положениями шарика динамометра: U = А /q = 1,7 10 3 В.

С одной стороны напряжённость электрического поля между пластинами:

С другой стороны, согласно формуле (6.1), при d = s :

Таким образом, опыт показывает, что напряжённость электрического поля можно определить двумя способами, которые, разумеется, приводят к одинаковым результатам.

Исследование 6.2. Градуировка электрометра по напряжению

Задание. Разработайте эксперимент, показывающий, что с помощью демонстрационного стрелочного электрометра можно измерять напряжение.

Вариант выполнения. Экспериментальная установка схематически изображена на рисунке. Пользуясь электростатическим динамометром, определите напряжённость однородного электрического поля и по формуле U = Еd вычислите разность потенциалов между проводящими пластинами. Повторяя эти действия, отградуируйте электрометр по напряжению так, чтобы получился электростатический вольтметр.

Исследование 6.3. Потенциал поля сферического заряда

Задание. Экспериментально определите работу, которую нужно совершить против электростатического поля, чтобы переместить пробный заряд из бесконечности в некоторую точку поля, созданного заряженной сферой.

Вариант выполнения. На изолирующей стойке закрепите шарик из пенопласта, обёрнутый алюминиевой фольгой. Зарядите его от пьезоэлектрического или иного источника (cм. п. 1.10) и одноимённым зарядом зарядите пробный шарик на стержне электростатического динамометра. Пробный заряд находится бесконечно далеко от исследуемого, если электростатический динамометр не фиксирует силы электростатического взаимодействия между зарядами. В эксперименте удобно электростатический динамометр оставить неподвижным, а перемещать исследуемый заряд.

Постепенно приближайте заряженный шарик на изолирующей подставке к шарику электростатического динамометра. В первую строку таблицы записывайте значения расстояния r между зарядами, во вторую строку – соответствующие им значения силы электростатического взаимодействия. Удобно расстояние выражать в сантиметрах, а силу – в условных единицах, в которых отградуирована шкала динамометра. По получившимся данным постройте график зависимости силы от расстояния. Подобный график вы уже строили, выполняя исследование 3.5.

Теперь найдите зависимость работы по перемещению заряда из бесконечности в данную точку поля. Обратите внимание на то, что в эксперименте сила взаимодействия зарядов становится практически равной нулю на сравнительно небольшом удалении одного заряда от другого.

Разбейте весь диапазон изменения расстояния между зарядами на равные участки, например, по 1 см. Обработку экспериментальных данных удобнее начинать с конца графика. На участке от 16 до 12 см среднее значение силы f ср составляет 0,13 усл. ед., поэтому элементарная работа А на этом участке равна 0,52 усл. ед. На участке от 12 до 10 см, рассуждая аналогичным образом, получаем элементарную работу 0,56 усл. ед. Далее удобно брать участки длиной по 1 см. На каждом из них найдите среднее значение силы и умножьте его на длину участка. Полученные значения работы поля A на всех участках занесите в четвёртую строку таблицы.

Чтобы узнать работу А , совершённую электрическим полем при перемещении заряда из бесконечности на данное расстояние, складывайте соответствующие элементарные работы и получающиеся значения записывайте в пятую строку таблицы. В последней строке запишите значения величины 1/r , обратной расстоянию между зарядами.

Постройте график зависимости работы электрического поля от величины, обратной расстоянию, и убедитесь, что получается прямая линия (рисунок справа).

Таким образом, опыт показывает, что работа электрического поля при перемещении заряда из бесконечности в данную точку поля обратно пропорциональна расстоянию от этой точки до заряда, создающего поле.

Исследование 6.4. Высоковольтный источник напряжения

Информация. Для школьного физического эксперимента в настоящее время промышленность выпускает прекрасные высоковольтные источники напряжения. Они имеют две выходные клеммы или два высоковольтных электрода, разность потенциалов между которыми плавно регулируется в пределах от 0 до 25 кВ. Встроенный в прибор стрелочный или цифровой измеритель напряжения позволяет определять разность потенциалов между полюсами источника. Такие приборы повышают уровень учебного эксперимента по электростатике.

Задание. Разработайте доказательный учебный эксперимент, показывающий, что потенциал заряженного шара, экспериментально определённый в соответствии с формулой (6.2) для точечного заряда, равен потенциалу, сообщённому этому шару высоковольтным источником питания.

Вариант выполнения. Вновь соберите экспериментальную установку, состоящую из электростатического динамометра с пробным шариком и проводящего шара на изолирующей подставке (см. исследования 3.4 и 6.3). Измерьте параметры всех элементов установки.

Для определённости укажем, что в одном из опытов мы использовали электростатический динамометр, параметры которого указаны в исследовании 3.4: а = 5 10 –3 м, b = 55 10 –3 м, с = 100 10 –3 м, т = 0,94 10 –3 кг, причём шарики были одинаковыми и имели радиус R = 7,5 10 –3 м. Для этого динамометра градуировочный коэффициент K , переводящий условные единицы силы в ньютоны, даётся формулой (cм. исследование 3.6).

График работы по перемещению пробного заряда из бесконечности в данную точку поля представлен на рисунке на с. 31. Чтобы в этом графике от условных единиц работы перейти к джоулям, нужно в соответствии с формулой A = f ср r значения расстояния в сантиметрах перевести в метры, значения силы в усл. ед. (см) перевести в усл. ед. (м) и умножить на K . Таким образом: A (Дж) = 10 –4 K A (уcл. ед.).

Соответствующий график зависимости работы от величины, обратной расстоянию, представлен ниже. Экстраполируя его до R = 7,5 мм, получаем, что работа по перемещению пробного заряда из бесконечности до поверхности заряженного шарика А = 57 10 –4 K = 4,8 10 –5 Дж. Так как заряды шариков были одинаковы и составляли q = 6,6 10 –9 Кл (см. исследование 3.6), то искомый потенциал = А /q = 7300 В.

Включите высоковольтный источник и регулятором установите на нём выходное напряжение, например, U = 15 кВ. Одним из электродов поочерёдно прикоснитесь к проводящим шарикам и выключите источник. При этом каждый из шариков приобретает относительно Земли потенциал = 7,5 кВ. Повторите опыт по определению зарядов шариков методом Кулона (исследование 3.6) и вы получите значение, близкое к 7 нКл.

Таким образом, в эксперименте двумя независимыми способами определены заряды шаров. Первый способ основан на непосредственном использовании определения потенциала, второй опирается на сообщение шарикам определённого потенциала c помощью высоковольтного источника и последующее измерение их заряда с помощью закона Кулона. При этом получились совпадающие результаты.

Конечно, никто из школьников и не сомневается в том, что современные приборы правильно измеряют значения физических величин. Но теперь они убеждены, что правильно измеряются именно те величины, которые они изучают в простейших явлениях. Установлена прочная связь между основами физики и современной техникой, ликвидирована пропасть между школьными знаниями и реальной жизнью.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Как экспериментально доказать, что электростатическое поле потенциально?

2. В чём суть аналогии между гравитационным и электростатическим полями?

3. Какова связь между напряжённостью и разностью потенциалов электростатического поля?

4. Предложите опыт, непосредственно обосновывающий справедливость принципа суперпозиции для потенциалов.

5. Вычислите потенциал поля точечного заряда, пользуясь интегральным исчислением. Сравните сделанный вами вывод формулы с элементарным выводом, приведённым в лекции.

6. Выясните, почему в опыте по определению разности потенциалов между двумя проводящими дисками (исследование 6.1) нельзя перемещать измеритель напряжённости так, чтобы его пробный шарик прошёл всё расстояние от одного диска до другого.

7. Отградуировав электрометр по напряжению (исследование 6.2), сравните получившийся результат с теми значениями чувствительности прибора по напряжению, которые приводятся в паспортных данных электрометра.

9. Детально разработайте методику формирования в сознании учащихся обоснованной убеждённости, что введённое при изучении электростатики понятие потенциала электрического поля в точности соответствует тому, которое используется современной наукой и техникой.

Литература

Бутиков Е.И. , Кондратьев А.С. Физика: Учеб. пособие: В 3 кн. Кн. 2. Электродинамика. Оптика. – М.: Физматлит, 2004.

Восканян А.Г ., Марленский А.Д. , Шибаев А.Ф. Демонстрация закона Кулона на основе количественных измерений: В сб. «Учебный эксперимент по электродинамике», вып. 7. – М.: Школа-Пресс, 1996.

Касьянов В.А. Физика-10. – М.: Дрофа, 2003.

Мякишев Г.Я. , Синяков А.З ., Слободсков Б.А . Физика: Электродинамика. 10–11 кл.: Учеб. для угл. изучения физики. – М.: Дрофа, 2002.

Учебное оборудование для кабинетов физики обще- образовательных учреждений: Под ред. Г.Г.Никифорова. – М.: Дрофа, 2005.

Во многих случаях для того, чтобы правильно уяснить суть вопроса, касающегося электротехники, необходимо точно знать, что такое разность потенциалов.

Определение разности потенциалов

Общее понятие состоит в электрическом напряжении, образованном между двумя точками, и представляющем собой работу электрического поля, которую необходимо совершить для перемещения из одной точки в другую положительного единичного заряда.

Таким образом, в равномерном и бесконечном электрическом поле положительный заряд под воздействием этого поля будет перемещен на бесконечное расстояние в направлении, одинаковым с электрическим полем. Потенциал конкретной точки поля представляет собой работу, производимую электрическим полем при перемещении из этой точки положительного заряда в точку, удаленную бесконечно. При перемещении заряда в обратном направлении, внешними силами производится работа, направленная на преодоление электрической силы поля.

Разность потенциалов на практике

Разность потенциалов, существующая в двух различных точках поля, получила понятие напряжения, измеряемого в вольтах. В однородном электрическом поле очень хорошо просматривается зависимость между электрическим напряжением и напряженностью электрического поля.

Точки с одинаковым потенциалом, расположенные вокруг заряженной поверхности проводника, полностью зависят от формы этой поверхности. При этом разность потенциалов для отдельных точек, лежащих на одной и той же поверхности имеет нулевое значение. Такая поверхность , где каждая точка обладает одинаковым потенциалом носит название эквипотенциальной поверхности.

Когда происходит приближение к заряженному телу, происходит быстрое увеличение потенциала, а расположение эквипотенциальных поверхностей становится более тесным относительно друг друга. При удалении от заряженных тел, расположение эквипотенциальных поверхностей становится более редким. Расположение электрических силовых линий всегда перпендикулярно с эквипотенциальной поверхностью в каждой точке.

В заряженном проводнике все точки на его поверхности обладают одинаковым потенциалом. То же значение имеется и во внутренних точках проводника.

Проводники, имеющие различные потенциалы, соединенные между собой с помощью металлической проволоки. На ее концах появляется напряжение или разность потенциалов, поэтому вдоль всей проволоки наблюдается действие электрического поля. Свободные электроны начинают двигаться в направлении увеличения потенциала, что вызывает появление электрического тока.