Из серии "Физические основы звука" , посвященной объяснению основ физических процессов, с которыми приходится сталкиваться музыкантам и просто любителям музыки. Материал дается языком, доступным для людей далеких от техники и сегодня мы рассмотрим фазу сигнала и фазовый сдвиг.
Мы вплотную подошли к тому, чтобы рассказать, что же такое фаза.
Посмотрим на формулу, описывающую синусоидальное колебание:
S(t)=Amp*sin(Ф) ,
где S(t) - это значение сигнала (уровень звукового давления, величина семпла,
уровень напряжения на входе колонок) в момент времени t;
Amp - амплитуда сигнала (максимально возможное значение для этого колебания);
sin - синусоидальная функция.
Ф - фаза сигнала равна:
Ф=2*PI*f+ф/360*2*PI
PI - число «пи»;
f - частота (высота тона) сигнала в Герцах;
ф - сдвиг фазы сигнала в градусах.
Фаза в течении периода колебания меняется от 0 до 360 градусов . Потом опять - от 0 до 360, и так далее. Поскольку фаза однозначно связана с уровнем колебания в точке периода, соответствующего фазе, то:
Фазу, с некоторым допущением, можно рассматривать, как мгновенный уровень сигнала в определенной точке времени внутри периода.
При значении фазы 0 градусов - уровень сигнала (синусоиды) равен 0.
При значении фазы 90 градусов - 1 Па.
При значении фазы 180 градусов - снова 1 Па.
При значении фазы 360 градусов (все равно, что 0 градусов следующего периода) - снова 0 Па.
С течением времени уровень сигнала изменяется по определенному закону, поэтому грубо можно сказать и так:
ФАЗА СИГНАЛА - это уровень сигнала в текущий момент времени.
ФАЗА СИГНАЛА - это уровень звукового давления в текущий момент времени в нашей точке пространства.
Теперь о том, как такое виртуальное понятие, как ФАЗА СИГНАЛА влияет на реальную жизнь.
Допустим две колонки порождают в точке нахождения слушателя переменные звуковые давления, которые складываются друг с другом. Эти давления то нарастают, то убывают. А если мы предположим, что давления от обоих колонок изменяются одинаково, но всегда в противоположную сторону. То есть,
давление от первой колонки 0,5 Па (паскалей), а от второй минус 0,5 Па,
от первой минус 1 Па, от второй 1 Па.
Такое явление называется противофазой . Суммарная громкость звука в точке слушателя - всегда равна нулю.
Что же такое противофаза по формуле синусоидального колебания?
S(t)=Amp*sin(2*PI*f+ф/360*2*PI)
Это когда в одной колонке сигнал изменяется по формуле
S(t)=Amp*sin(2*PI*f+0) , фазовый сдвиг ф=0 градусов.
А в другой колонке сигнал изменяется по формуле (сигналы по форме одинаковые, но с задержкой по времени)
S(t)=Amp*sin(2*PI*f+180/360*2*PI) , фазовый сдвиг ф=180 градусов.
360 градусов - длина периода сигнала, 180 градусов - половина периода сигнала.
Иными словами колебание во второй колонке задержано на половину периода (на 180 градусов).
Если задержка равна нулю , то уровень сигнала наоборот увеличивается, т.к. давление от первой колонки - 1 Па, от второй 1 Па, в сумме 1+1=2 Па. В этом случае говорят, что сигналы в фазе (фазовый сдвиг равен 0 градусов).
При значениях фазового сдвига от 0 до 180 градусов - суммарный уровень громкости становится меньше , пока не станет равным нулю при значении фазового сдвига 180 градусов .
Если фазовый сдвиг становится больше 180 градусов , то суммарный уровень громкости опять возрастает .
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...
На якоре генератора укреплены два одинаковых витка 1 и 2, сдвинутых в пространстве (рис. 5-6). При вращении якоря в витках будут наводиться э. д. с. одной частоты и с одинаковыми амплитудами; так как витки вращаются с одинаковой угловой скоростью в одном и том же магнитном поле.
Вследствие сдвига витков в пространстве, витки неодновременно проходят под серединами полюсов и э. д. е. неодновременно достигают амплитудных значений.
При вращении якоря с угловой скоростью и в направлении, обратном ходу часовой стрелки, в момент начала отсчета времени витки расположены под углами к нейтральной плоскости (рис. 5-6).
Рис. 5-6. Два витка обмотки якоря генератора.
Рис. 5-7. Графики двух переменных э. д. с.
Наведенные в витках э. д. с.
где угол называется фазным углом или просто фазой, так что мгновенное значение синусоидальной величины определяется амплитудой и фазой.
Графики этих э. д. с. построены на рис. 5-7.
В начальный момент времени наводимые в витках э. д. с.
На рис. 5-7 они изображены начальными ординатами. Электрические углы , определяющие значения э. д. с. в начальный момент времени, называются начальными фазными углами или просто начальными фазами.
Таким образом, синусоидальная величина характеризуется: 1) амплитудой, 2) частотой или периодом и 3) начальной фазой.
Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одной частоты называется углом сдвига фаз (сдвигом фаз):
Сдвиг фаз показывает, на какую часть периода или на какой промежуток времени одна синусоидальная величина достигает начала периода раньше другой величины.
За начало периода считают момент времени, в который синусоидальная величина проходит через нулевое значение, после которого она положительна. Та величина, у которой начало периода достигается раньше, чем у другой, считается опережающей по фазе, а та, у которой то же значение достигается позже - отстающей по фазе.
Две синусоидальные величины, имеющие одинаковые начальные фазы, совпадают по фазе. Две синусоидальные величины, угол сдвига фаз которых равен 180°, изменяются в противофазе.
Пример 5-3. Две э. д. с. заданы уравнениями
Проделаем следующий опыт. Возьмем описанный в § 153 осциллограф с двумя петлями и включим его в цепь так (рис. 305,а), чтобы петля 1 была включена в цепь последовательно с конденсатором, а петля 2 параллельно этому конденсатору. Очевидно, что кривая, получаемая от петли 1, изображает форму тока, проходящего через конденсатор, а от петли 2 дает форму напряжения между обкладками конденсатора (точками и ), потому что в этой петле осциллографа ток в каждый момент времени пропорционален напряжению. Опыт показывает, что в этом случае кривые тока и напряжения смещены по фазе, причем ток опережает по фазе напряжение на четверть периода (на ). Если бы мы заменили конденсатор катушкой с большой индуктивностью (рис. 305,б), то оказалось бы, что ток отстает по фазе от напряжения на четверть периода (на ). Наконец, таким же образом можно было бы показать, что в случае активного сопротивления напряжение и ток совпадают по фазе (рис. 305,в).
Рис. 305. Опыт по обнаружению сдвига фаз между током и напряжением: слева – схема опыта, справа – результаты
В общем случае, когда участок цепи содержит не только активное, но и реактивное (емкостное, индуктивное или и то и другое) сопротивление, напряжение между концами этого участка сдвинуто по фазе относительно тока, причем сдвиг фаз лежит в пределах от до и определяется соотношением между активным и реактивным сопротивлениями данного участка цепи.
В чем заключается физическая причина наблюдаемого сдвига фаз между током и напряжением?
Если в цепь не входят конденсаторы и катушки, т. е. емкостным и индуктивным сопротивлениями цепи можно пренебречь по сравнению с активным, то ток следует за напряжением, проходя одновременно с ним через максимумы и нулевые значения, как это показано на рис. 305,в.
Если цепь имеет заметную индуктивность , то при прохождении по ней переменного тока в цепи возникает э. д. с. самоиндукции. Эта э. д. с. по правилу Ленца направлена так, что она стремится препятствовать тем изменениям магнитного поля (а следовательно, и изменениям тока, создающего это поле), которые вызывают э. д. с. индукции. При нарастании тока э. д. с. самоиндукции препятствует этому нарастанию, и потому ток позже достигает максимума, чем в отсутствие самоиндукции. При убывании тока э. д. с. самоиндукции стремится поддерживать ток и нулевые значения тока будут достигнуты в более поздний момент, чем в отсутствие самоиндукции. Таким образом, при наличии индуктивности ток отстает по фазе от тока в отсутствие индуктивности, а следовательно, отстает по фазе от своего напряжения.
Если активным сопротивлением цепи можно пренебречь по сравнению с ее индуктивным сопротивлением , то отставание тока от напряжения по времени равно (сдвиг фаз равен ), т. е. максимум совпадает с , как это показано на рис. 305,б. Действительно, в этом случае напряжение на активном сопротивлении , ибо , и, следовательно, все внешнее напряжение уравновешивается э. д. с. индукции, которая противоположна ему по направлению: . Таким образом, максимум совпадает с максимумом , т. е. наступает в тот момент, когда изменяется быстрее всего, а это бывает, когда . Наоборот, в момент, когда проходит через максимальное значение, изменение тока наименьшее , т. е. в этот момент .
Если
активное сопротивление цепи не настолько мало, чтобы им можно
было пренебречь, то часть внешнего напряжения падает на сопротивлении , а остальная
часть уравновешивается э. д. с. самоиндукции: 
. В этом случае максимум отстоит от
максимума по
времени меньше, чем на (сдвиг фаз меньше ), как это
изображено на рис. 306. Расчет показывает, что в этом случае отставание по фазе
может
быть вычислено по формуле
. (162.1)
При имеем и , как это объяснено выше.
Рис. 306. Сдвиг фаз между током и напряжением в цепи, содержащей активное и индуктивное сопротивления
Если цепь состоит из конденсатора емкости , а активным сопротивлением можно пренебречь, то обкладки конденсатора, присоединенные к источнику тока с напряжением , заряжаются и между ними возникает напряжение . Напряжение на конденсаторе следует за напряжением источника тока практически мгновенно, т. е. достигает максимума одновременно с и обращается в нуль, когда .
Зависимость между током и напряжением в этом случае показана на рис. 307,а. На рис. 307,б условно изображен процесс перезарядки конденсатора, связанный с появлением переменного тока в цепи.
Рис. 307. а) Сдвиг фаз между напряжением и током в цепи с емкостным сопротивлением в отсутствие активного сопротивления. б) Процесс перезарядки конденсатора в цепи переменного тока
Когда конденсатор заряжен до максимума (т. е. , а следовательно, и имеют максимальное значение), ток и вся энергия цепи есть электрическая энергия заряженного конденсатора (точка на рис. 307,а). При уменьшении напряжения конденсатор начинает разряжаться и в цепи появляется ток; он направлен от обкладки 1 к обкладке 2, т. е. навстречу напряжению . Поэтому на рис. 307,а он изображен как отрицательный (точки лежат ниже оси времени). К моменту времени конденсатор полностью разряжен ( и ), а ток достигает максимального значения (точка ); электрическая энергия равна нулю, и вся энергия сводится к энергии магнитного поля, создаваемого током. Далее, напряжение меняет знак, и ток начинает ослабевать, сохраняя прежнее направление. Когда (и ) достигнет максимума, вся энергия вновь станет электрической, и ток (точка ). В дальнейшем (и ) начинает убывать, конденсатор разряжается, ток нарастает, имея теперь направление от обкладки 2 к обкладке 1, т. е. положительное; ток доходит до максимума в момент, когда (точка ) и т. д. Из рис. 307,а видно, что ток раньше, чем напряжение, достигает максимума и проходит через нуль, т. е. ток опережает напряжение по фазе., как это объяснено выше.
Рис. 308. Сдвиг фаз между током и напряжением в цепи, содержащей активное и емкостное сопротивления
От величины активного, индуктивного и ёмкостного сопротивления.
tg w = (X-C)/R. Где w - угол сдвига фаз, X - индуктивное сопротивление, C- ёмкостное сопротивление, R- активное сопротивление.
Угол сдвига фаз между напряжением и током в электрической цепи определяется аргументом ее комплексного сопротивления . Поэтому при анализе цепи часто бывает достаточно определить характер изменения этого угла при вариации некоторого параметра.
Пусть R= const, а X =var. Тогда конец вектора Z будет скользить по прямой R= const (рис. 2). При X = 0 сопротивление Z вещественное, т.е. чисто резистивное и сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю.
Аналитический расчет токи в цепи по методу узловых напряжений
Метод узловы́х потенциалов - метод расчета электрических цепей путём записи системы линейных алгебраических уравнений , в которой неизвестными являются потенциалы в узлах цепи . В результате применения метода определяются потенциалы во всех узлах цепи, а также, при необходимости, токи во всех ветвях.
Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно
Перед началом расчёта выбирается один из узлов (базовый узел), потенциал которого считается равным 0. Затем узлы нумеруются, после чего составляется система уравнений .
Уравнения составляются для каждого узла, кроме базового. Слева от знака равенства записывается:
потенциал рассматриваемого узла, умноженный на сумму проводимостей ветвей, примыкающих к нему;
минус потенциалы узлов, примыкающих к данному, умноженные на проводимости ветвей, соединяющих их с данным узлом.
Справа от знака равенства записывается:
сумма всех источников токов , примыкающих к данному узлу;
сумма произведений всех ЭДС, примыкающих к данному узлу, на проводимость соответствующего звена.
Если источник направлен в сторону рассматриваемого узла, то он записывается со знаком «+», в противном случае - со знаком «−».
Проверка баланса мощностей
Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии - суммарная мощность вырабатываемая (генерируемая) источниками электрической энергии равна сумме мощностей потребляемой в цепи.
Баланс мощностей используют для проверки правильности расчета электрических цепей.
Здесь мы рассмотрим баланс для цепей постоянного тока.
Например. У нас есть электрическая цепь.
Для проверки правильности решения составляем баланс мощностей. 
Источники E1 и E2 вырабатывают электрическую энергию, т.к. направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают (если ЭДС и ток в ветвях направлены в противоположную сторону, то источник ЭДС потребляет энергию и его записывают со знаком минус ). Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:
Закон Ома для переменного тока
Если цепь содержит не только активные, но и реактивные компоненты (ёмкости, индуктивности), а ток является синусоидальным с циклической частотой ω, то закон Ома обобщается; величины, входящие в него, становятся комплексными:
U = I·Z
U = U 0 e iωt - напряжение или разность потенциалов,
I - сила тока,
Z = Re -iδ - комплексное сопротивление (импеданс),
R = (R a 2 +R r 2 ) 1/2 - полное сопротивление,
R r = ωL - 1/ωC - реактивное сопротивление (разность индуктивного и емкостного),
R а - активное (омическое) сопротивление, не зависящее от частоты,
δ = -arctg R r /R a - сдвиг фаз между напряжением и силой тока.
При этом переход от комплексных переменных в значениях тока и напряжения к действительным (измеряемым) значениям может быть произведен взятием действительной или мнимой части (но во всех элементах цепи одной и той же!) комплексных значений этих величин. Соответственно, обратный переход строится для, к примеру, U = U 0 sin(ωt + φ) подбором такой U = U 0 e iωt , что I n U = U . Тогда все значения токов и напряжений в схеме надо считать как F = ImF .
Если ток изменяется во времени, но не является синусоидальным (и даже периодическим), то его можно представить как сумму синусоидальных Фурье-компонент. Для линейных цепей можно считать компоненты фурье-разложения тока действующими независимо.
Также необходимо отметить, что закон Ома является лишь простейшим приближением для описания зависимости тока от разности потенциалов и для некоторых структур справедлив лишь в узком диапазоне значений. Для описания более сложных (нелинейных) систем, когда зависимостью сопротивления от силы тока нельзя пренебречь, принято обсуждать вольт-амперную характеристику. Отклонения от закона Ома наблюдаются также в случаях, когда скорость изменения электрического поля настолько велика, что нельзя пренебрегать инерционностью носителей заряда.
2. Чему равен сдвиг фаз между напряжением и током в цепи, содержащей катушку, ёмкость?
Сдвиг фаз - разность между начальными фазами двух переменных величин, изменяющихся во времени периодически с одинаковой частотой. Сдвиг фаз является величиной безразмерной и может измеряться в градусах, радианах или долях периода. В электротехнике сдвиг фаз между напряжением и током определяет коэффициент мощности в цепяхпеременного тока.
В радиотехнике широко применяются RC-цепочки, сдвигающие фазу приблизительно на 60°. Чтобы сдвинуть фазу на 180° нужно включить последовательно три RC-цепочки. Применяется в RC-генераторах.
Наведённая во вторичных обмотках трансформатора ЭДС для любой формы тока совпадает по фазе и форме с ЭДС в первичной обмотке. При противофазном включении обмотоктрансформатор изменяет полярность мгновенного напряжения на противоположную, в случае синусоидального напряжения сдвигает фазу на 180°. Применяется в генераторе Мейснера и др.
рис.305
Рис.
305. Опыт по обнаружению сдвига фаз между
током и напряжением: слева -
схема опыта, справа -
результаты
дает
форму напряжения между обкладками
конденсатора (точками а и b), потому что
в этой петле осциллографа ток в каждый
момент времени пропорционален напряжению.
Опыт показывает, что в этом случае кривые
тока и напряжения смещены по фазе, причем
ток опережает по фазе напряжение на
четверть периода (на p/2). Если бы мы
заменили конденсатор катушкой с большой
индуктивностью (рис. 305, б), то оказалось
бы, что ток отстает по фазе от напряжения
на четверть периода (на p/2). Наконец,
таким же образом можно было бы показать,
что в случае активного сопротивления
напряжение и ток совпадают по фазе (рис.
305, в).
В
общем случае, когда участок цепи содержит
не только активное, но и реактивное
(емкостное, индуктивное или и то и другое)
сопротивление, напряжение между концами
этого участка сдвинуто по фазе относительно
тока, причем сдвиг фаз лежит в пределах
от +p/2 до -p/2 и определяется соотношением
между активным и реактивным сопротивлениями
данного участка цепи.
В
чем заключается физическая причина
наблюдаемого сдвига фаз между током и
напряжением?
Если
в цепь не входят конденсаторы и катушки,
т. е. емкостным и индуктивным сопротивлениями
цепи можно пренебречь по сравнению с
активным, то ток следует за напряжением,
проходя одновременно с ним через
максимумы и нулевые значения, как это
показано на рис. 305, в.
Если
цепь имеет заметную индуктивность L
,
то при прохождении по ней переменного
тока в цепи возникает ЭДС
.
самоиндукции. Эта ЭДС по правилу Ленца
направлена так, что она стремится
препятствовать тем изменениям магнитного
поля (а следовательно, и изменениям
тока, создающего это поле), которые
вызывают э. д. с. индукции. При нарастании
тока э. д. с. самоиндукции препятствует
этому нарастанию, и потому ток позже
достигает максимума, чем в отсутствие
самоиндукции. При убывании тока э. д. с.
самоиндукции стремится поддерживать
ток и нулевые значения тока будут
достигнуты в более поздний момент, чем
в отсутствие самоиндукции. Таким
образом, при наличии индуктивности ток
отстает по фазе оттока в отсутствие
индуктивности, а следовательно, отстает
по фазе от своего напряжения.
Если
активным сопротивлением цепи R
можно
пренебречь по сравнению с ее индуктивным
сопротивлением XL=wL
,
то отставание тока от напряжения по
времени
равно
Т/4
(сдвиг фаз равен p/2
),
т. е. максимум u
совпадает с i=0
,
как это показано на рис. 305, б. Действительно,
в этом случае напряжение на активном
сопротивлении Ri=0
,
ибо R=0
,
и, следовательно, все внешнее напряжение
u
уравновешивается ЭДС индукции, которая
противоположна ему по направлению:
u=LDi/Dt
.
Таким образом, максимум u
совпадает с максимумом Di/Dt
,
т. е. наступает в тот момент, когда i
изменяется быстрее всего, а это бывает,
когда i=0
.
Наоборот, в момент, когда i
проходит через максимальное значение,
изменение тока наименьшее (Di/Dt=0
),
т. е. в этот момент u=0.
Если
активное сопротивление цепи R не настолько
мало, чтобы им можно было пренебречь,
то часть внешнего напряжения и падает
на сопротивлении R
,
а остальная часть уравновешивается э.
д. с. самоиндукции: u=Ri+LDi/Dt
.
В этом случае максимум i
отстоит от максимума и по времени меньше,
чем на T/4
(сдвиг фаз меньше p/2
),
как это изображено
