Магнитная индукция внутри соленоида формула. Магнитное поле соленоида. Электромагниты

Являются замкнутыми, это свидетельствует о том, что в природе нет магнитных зарядов. Поля, силовые линии которых замкнуты, называют вихревыми поля-ми . То есть магнитное поле — это вихревое поле. Этим оно отличается от электрического поля , создаваемого зарядами.

Соленоид.

Соленоид — это проволочная спираль с током.

Соленоид характеризуется числом витков на единицу длины n , длиной l и диаметром d . Толщина провода в соленоиде и шаг спирали (винтовой линии) малы по сравнению с его диаметром d и длиной l . Термин «соленоид» применяют и в более широком значении — так называют катушки с произвольным сечением (квадратный соленоид, прямоугольный соленоид), и не обязательно ци-линдрической формы (тороидальный соленоид). Различают длинный соленоид (l ≫ d ) и короткий соленоид (l ≪ d ). В тех случаях, когда соотношение между d и l специально не оговаривается, подразуме-вается длинный соленоид.

Соленоид был изобретен в 1820 г. А. Ампером для усиления открытого X. Эрстедом магнитного действия тока и применен Д. Араго в опытах по намагничиванию стальных стержней. Магнит-ные свойства соленоида были экспериментально изучены Ампером в 1822 г. (тогда же им был вве-ден термин «соленоид»). Была установлена эквивалентность соленоида постоянным природным магнитам, что явилось подтверждением электродинамической теории Ампера, которая объясняла магнетизм взаимодействием скрытых в телах кольцевых молекулярных токов.

Силовые линии магнитного поля соленоида:

Направление этих ли-ний определяют с помощью второго правила правой руки .

Если обхватить соленоид ладонью правой руки, направив четыре пальца по току в витках, то отставленный большой палец укажет направление магнитных линий внутри соленоида.

Сравнив магнитное поле соленоида с полем постоянного магнита (рис. ниже), можно заметить, что они очень похожи.

Как и у магнита, у соленоида есть два полюса — северный (N ) и южный (S ). Северным полюсом называют тот, из которого магнитные линии выходят; южным полюсом — тот, в который они входят. Северный полюс у соленоида всегда располагается с той стороны, на которую указывает большой палец ладони при ее расположении в соответствии со вторым правилом правой руки.

Соленоид в виде катушки с большим числом витков используют в качестве магнита.

Исследования магнитного поля соленоида показывают, что магнитное действие соленоида увеличивается с увеличением силы тока и числа витков в соленоиде. Кроме того, магнитное действие соленоида или катушки с током усиливается при введении в него железного стержня, который называют сердечником .

Электромагниты.

Современные электромагниты могут поднимать грузы массой несколько десятков тонн. Они используются на заводах при перемещении тяжелых изделий из чугуна и стали. Электромагниты используются также в сельском хозяйстве для очистки зерен ряда растений от сорняков и в дру-гих отраслях промышленности.

Приборы и принадлежности: лабораторная установка с соленоидом, источник питания, милливольтметр, амперметр.

Краткая теория

Соленоидом называется цилиндрическая катушка, содержащая большое, число витков провода, по которому идет ток. Если шаг вин­товой линии проводника, образующего катушку, мал, то каждый ви­ток с током можно рассматривать как отдельный круговой ток, а соленоид - как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, имеющих общую ось.

Магнитное поле внутри соленоида можно представить как сумму магнитных полей, создаваемых каждым витком. Вектор индукции маг­нитного поля внутри соленоида перпендикулярен плоскости витков, т.е. направлен по оси соленоида и образует с направлением кольце­вых токов витков правовинтовую систему. Примерная картина силовых линий магнитного поля соленоида показана на рис. 1. Силовые линии магнитного поля замкнуты.

На рис, 2 показано сечение соленоида длиной L и с числом витков N и радиусом поперечного сечения R. Кружки с точками обозначают сечения витков катушки, по которым идет ток I , на­правленный от чертежа на нас, а кружки с крестиками - сечения вит­ков, в которых ток направлен за чертеж. Число витков на единицу длины соленоида обозначим .

Индукция магнитного поля в точке А, расположенной на оси соленоида, определяется путем интегрирования магнитных полей, со­здаваемых каждым витком, и равна

, (1)

где и - углы, образуемые с осью соленоида радиус-векто­рами и , проведенными из точки А к крайним виткам солено­ида, -магнитная проницаемость среды, магнитная постоянная.

Таким образом, магнитная индукция В прямо пропорциональна си­ле тока, магнитной проницаемости среды, заполняющей соленоид, и числу витков на единицу длины. Магнитная индукция также зависит от положения точки А относительно концов соленоида. Рассмотрим нес­колько частных случаев:

1. Пусть точка А находится в центре соленоида, тогда , и . Если соленоид достаточно длинный, то и (2)

2. Пусть точка A находится в центре крайнего витка, тогда , и . Если солено­ид достаточно длинный, то , и (3)

Из формул (2) и (3) видно, что магнитная индукция соленоида на его краю вдвое меньше по сравнению с ее величиной в центре.

3. Если длина соленоида во много раз больше радиуса его витков
("бесконечно" длинный соленоид), то для всех точек, лежащих внутри
соленоида на его оси, можно положить . Тогда
поле можно считать в центральной части соленоида однородным и рассчитывать его по формуле

Однородность магнитного поля нарушается вблизи краев соленоида. В этом случае индукцию можно определять по формуле

где k - коэффициент, учитывающий неоднородность поля.

Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида в данной работе осуществляется с помощью специального зонда - маленькой катушки, укрепленной внутри штока с масштабной линейкой. Ось катуш­ки совпадает с осью соленоида, катушка подключается к милливольт­метру переменного тока, входное сопротивление которого много боль­ше сопротивления катушки-зонда. Если через соленоид идет перемен­ный ток стандартной частоты ( =50 Гц), то внутри соленоида и на его краях индукция переменного магнитного поля изменяется по закону (см. (5)):

Амплитуда магнитной индукции в этой формуле зависит от положения точки внутри соленоида. Если поместить в соленоид катуш­ку-зонд, то в соответствии с законом электромагнитной индукции, в ней возникает ЭДС индукции:

, (6)

где N 1 - число витков в катушке, S - площадь поперечного сече­ния катушки, Ф - магнитный поток ( , т.к. ось катушки совпадает с осью соленоида и, следовательно, вектор магнитной ин­дукции перпендикулярен плоскости поперечного сечения катушки.).

Так как величина индукции B изменяется по закону , , то из (6) получается формула для расчета ЭДС:

Из выражения (7) видно, что амплитуда ЭДС зависит от . Таким образом, измеряя амплитуду ЭДС, можно определить :

Коэффициент k учитывающий неоднородность магнитного поля соленоида на краях, можно о определить., по формуле. (5), зная и :

(9)

где - амплитуда переменного тока, идущего через соленоид.

Из формул (7) и (9) следует, что амплитуда ЭДС индукции прямо пропорциональна амплитуде переменного тока :

Включенные в цепь переменного тока амперметр и милливольт­метр измеряют действующие значения тока и ЭДС , которые связаны с амплитудами и соотношениями:

Для действующих значений тока и ЭДС формула (10) имеет вид

(11)

Из формулы (11) следует, что отношение пропорциональ­но коэффициенту K неоднородности индукции магнитного поля в точке соленоида, где проводятся измерения

(12)

где А - коэффициент пропорциональности.

В данной работе требуется выполнить два задания: 1) опреде­лить распределение индукции вдоль оси соленоида при некотором постоянном значении тока; 2) определить значение коэффициента к.

Техника безопасности:

1. Не подключают/ самостоятельно источник питания и милливольтметр к сети 220 В.

2. Не производить переключения цепей, находящихся под напряжением.

Не прикасаться к неизолированным частям цепей.

3. Не оставлять без присмотра включенную схему.

Порядок выполнения работы

Задание № 1. Исследование распределения индукции магнитного поля вдоль оси соленоида.

1. Собрать измерительную цепь по схеме, приведенной на рис. 3. Для этого в цепь соленоида включить источник питания и амперметр, а к выводам катушки - зонда - милливольтметр (для измерения ) В данной установке катушка-зонд имеет следующие параметры: =200 витков, S=2*10 -4 м 2 , частота переменного тока = 50 Гц, Число витков на единицу длины соленоида n = 2400 1/м

1- лабораторный стенд Z - шток «

2- катушка-зонд

3- соленоид
5- амперметр

6- источник питания с регулятором выход­ного напряжения (тока), 7- милливольтметр.

2. Установить шток с масштабной линейкой так, чтобы катушка-зонд оказалась примерно в середине соленоида.

3.Включить источник питания соленоида и установить ток соленоида (по амперметру), равный =25мА. Включить милливольтметр и после прогрева (5 мин) снять показания .

4.Перемещая шток с масштабной линейной, измерить при помощи
милливольтметра действующее значение ЭДС индукции через каждый
сантиметр положения линейки. По формуле (8) вычислить .
Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 1 (учтите, что ).

Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. Линии В поля соленоида выглядят примерно так, как показано на рис. 50.1. Внутри соленоида направление этих линий образует с направлением тока в витках правовинтовую систему.

У реального соленоида имеется составляющая тока вдоль оси. Кроме того, линейная плотность тока (равная отношению силы тока к элементу длины соленоида ) изменяется периодически при перемещении вдоль соленоида. Среднее значение этой плотности равно

где - число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины, I - сила тока в соленоиде.

В учении об электромагнетизме большую роль играет воображаемый бесконечно длинный соленоид, у которого отсутствует осевая составляющая тока и, кроме того, линейная плотность тока постоянна по всей длине. Причина этого заключается в том, что поле такого соленоида однородно и ограничено объемом соленоида (аналогично электрическое поле бесконечного плоского конденсатора однородно и ограничено объемом конденсатора).

В соответствии со сказанным представим соленоид в виде бесконечного тонкостенного цилиндра, обтекаемого током постоянной линейной плотности

Разобьем цилиндр на одинаковые круговые токи - «витки».

Из рис. 50.2 видно, что каждая пара витков, расположенных симметрично относительно некоторой плоскости, перпендикулярной к оси соленоида, создает в любой точке этой плоскости магнитную индукцию, параллельную оси. Следовательно, и результирующее поле в любой точке внутри и вне бесконечного соленоида может иметь лишь направление, параллельное оси.

Из рис. 50.1 вытекает, что направления поля внутри и вне конечного соленоида противоположны. При увеличении длины соленоида направления полей не изменяются и в пределе при остаются противоположными. Для бесконечного соленоида, как и для конечного, направление поля внутри соленоида образует с направлением обтекания цилиндра током правовинтовую систему.

Из параллельности вектора В оси вытекает, что поле как внутри, так и вне бесконечного соленоида должно быть однородным. Чтобы доказать это, возьмем внутри соленоида воображаемый прямоугольный контур 1-2-3-4 (рис. 50.3; участок идет по оси соленоида). Обойдя контур по часовой стрелке, получим для циркуляции вектора В значение Контур не охватывает токов, поэтому циркуляция должна быть равна нулю (см. (49.7)).

Отсюда следует, что Располагая участок контура 2-3 на любом расстоянии от оси, мы каждый раз будем получать, что магнитная индукция на этом расстоянии равна индукции на оси соленоида. Таким образом, однородность поля внутри соленоида доказана.

Теперь обратимся к контуру 1-2-3-4. Мы изобразили векторы штриховой линией, поскольку, как выяснится в дальнейшем, поле вне бесконечного соленоида равно нулю. Пока же мы знаем лишь, что возможное направление поля вне соленоида противоположно направлению поля внутри соленоида. Контур не охватывает токов; поэтому циркуляция вектора В по этому контуру, равная а, должна быть равна нулю.

Отсюда вытекает, что . Расстояния от оси соленоида до участков 1-4 и 2-3 были взяты произвольно. Следовательно, значение В на любом расстоянии от оси будет вне соленоида одно и то же. Таким образом, оказывается доказанной и однородность поля вне соленоида.

Циркуляция по контуру, изображенному на рис. 50.4, равна (для обхода по часовой стрелке). Этот контур охватывает положительный ток величины . В соответствии с (49.7) должно выполняться равенство

или после сокращения на а и замены на (см. )

Из этого равенства следует, что поле как внутри, так и снаружи бесконечного соленоида является конечным.

Возьмем плоскость, перпендикулярную к оси соленоида (рис. 50.5). Вследствие замкнутости линий В магнитные потоки, через внутреннюю часть 5 этой плоскости и через внешнюю часть S должны быть одинаковыми.

Поскольку поля однородны и перпендикулярны к плоскости, каждый из потоков равен произведению соответствующего значения магнитной индукции и площади, пронизываемой потоком. Таким образом, получается соотношение

Левая часть этого равенства конечна, множитель S в правой части бесконечно большой. Отсюда следует, что

Итак, мы доказали, что вне бесконечно длинного соленоида магнитная индукция равна нулю. Внутри соленоида поле однородно.

Положив в (50.3) , придем к формуле для магнитной индукции внутри соленоида:

Произведение называется числом ампер-витков на метр. При витков на метр и силе тока в 1 А магнитная индукция внутри соленоида составляет .

В магнитную индукцию на оси соленоида симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад (см. формулу (47.4)). Поэтому у конца полубесконечного соленоида на его оси магнитная индукция равна половине значения (50.4): - число витков на единицу его длины). В этом случае

Контур, проходящий вне тороида, токов не охватывает, поэтому для него Таким образом, вне тороида магнитная индукция равна нулю.

Для тороида, радиус которого R значительно превосходит радиус витка, отношение для всех точек внутри тороида мало отличается от единицы и вместо (50.6) получается формула, совпадающая с формулой (50.4) для бесконечно длинного соленоида. В этом случае поле можно считать однородным в каждом из сечений тороида. В разных сечениях поле имеет различное направление, поэтому говорить об однородности поля в пределах его тороида можно только условно, имея в виду одинаковость модуля В.

У реального тороида имеется составляющая тока вдоль оси. Эта составляющая создает в дополнение к полю (50.6) поле, аналогичное полю кругового тока.

Рис. 6.23. Магнитные силовые линии поля: 1 - соленоида; 2 - полосового магнита

Магнитное поле соленоида напоминает поле полосового магнита (рис. 6.23-2).

Если витки намотаны вплотную, то соленоид - это система круговых токов, имеющих одну ось.

Если считать соленоид достаточно длинным, то магнитное поле внутри соленоида однородно и направлено параллельно оси. Вне соленоида вдали от краев магнитное поле также должно иметь направление параллельное оси и на большом расстоянии от соленоида должно быть очень слабым. Поле убывает по закону

Подсчитаем поле внутри соленоида. Возьмем элемент соленоида длиной dh , находящийся на расстоянии h от точки наблюдения. Если катушка имеет n витков на единицу длины, то в выделенном элементе содержится ndh витков. Согласно формуле (6.11), этот элемент создает магнитное поле

Интегрируя по всей длине соленоида, получаем

Таким образом, поле в бесконечно длинном соленоиде дается выражением

На практике соленоиды бесконечно длинными не бывают. Для иллюстрации рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Найти магнитное поле в середине соленоида конечной длины l (рис. 6.24). Сравнить с полем бесконечно длинного соленоида. При каких условиях разница составляет менее 0,5 %?

Рис. 6.24. Магнитное поле катушки конечной длины
В центре соленоида магнитное поле практически однородно и значительно превышает по модулю поле вне катушки

Решение. Магнитное поле в средней точке оси соленоида конечной длины l дается тем же интегралом (6.19), но с другими пределами интегрирования

Если длина соленоида много больше его диаметра (l >> 2R ), мы возвращаемся к формуле для поля в бесконечно длинном соленоиде (6.20). Относительная разница этих двух значений равна

По условию эта разница мала: , то есть мало отношение диаметра соленоида к его длине: 2R /l << 1. Поэтому можно воспользоваться формулой разложения квадратного корня

Подставляя численное значение d , находим, что разница будет менее половины процента при выполнении соотношения

Иными словами, соленоид может рассматриваться как бесконечно длинный, если его длина в двадцать или более раз превышает радиус.

Пример 2. Найти магнитное поле В е в крайней торцевой точке оси соленоида конечной длины l . Сравнить с результатом предыдущего примера.

Решение. Магнитное поле в торцевой точке оси соленоида конечной длины l дается тем же интегралом (6.19), но теперь пределы интегрирования будут выглядеть иначе

Отношение полей в средней и крайней точках оси соленоида равно

Это отношение всегда меньше единицы (то есть поле на торце меньше поля в середине соленоида). При l >> R имеем

Этот результат легко понять. Представим себе бесконечный соленоид, который мысленно рассекаем пополам в точке наблюдения. Можно считать, что поле в этой точке создается двумя одинаковыми «полубесконечными» соленоидами, расположенными по разные стороны от нее. Ясно, что при удалении одного из них точка наблюдения становится торцом оставшегося «полубесконечного» соленоида, а магнитная индукция в ней уменьшиться именно в два раза.

Это - так называемый краевой эффект. Пример демонстрирует, что недостаточно выполнения соотношения l >> R , чтобы пользоваться формулами для бесконечно длинного соленоида; надо еще, чтобы точка наблюдения находилась далеко от его концов.

На рис. 6.25 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг соленоида. Поле соленоида, ось которого лежит в плоскости пластинки, сосредоточено в основном внутри соленоида. Силовые линии внутри имеют вид параллельных прямых вдоль оси катушки, а поле снаружи практически отсутствует.

Рис. 6.25. Визуализация силовых линий магнитного поля