Понятие вероятности события. Случайные события. Вероятность события

Классическое определение вероятности
Вероятностью события А Р(A) называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов n, Р(A)=.

Задача1

Из 20 экзаменационных билетов 3 содержат простые вопросы. Пять студентов по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется билет с простыми вопросами.

Решение:

Для начала найдем вероятность того, что ни одному из студентов не достанется билет с простыми вопросами.
Эта вероятность равна

Первая дробь показывает вероятность того, что первому студенту достался билет со сложными вопросами (их 17 из 20)
Вторая дробь показывает вероятность того, что второму студенту достался билет со сложными вопросами (их осталось 16 из 19)
Третья дробь показывает вероятность того, что третьему студенту достался билет со сложными вопросами (их осталось 15 из 18)
И так далее до пятого студента. Вероятности перемножаются т.к. по условию требуется одновременное выполнение этих условий.

Чтобы получить вероятность того, что хотя бы одному из студентов достанется билет с простыми вопросами надо вычесть полученную выше вероятность из единицы.

Ответ: 0,6009.

Задача2
Из множества всех последовательностей длины 10, состоящих из цифр 0; 1; 2; 3, наудачу выбирается одна. Какова вероятность того, что выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности. Решение

Вероятность события A – «Выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности», согласно классическому определению, равна P (A ) = , где n – полное число равновероятных исходов; m – число исходов, благоприятствующих событию A .

Число способов заполнить 10 позиций в последовательности цифрами 0; 1; 2; 3 составляет, с учетом возможности повторения цифр, n = 410 = 220 = 1048576.

Число способов разместить 5 нулей на 10 позициях в последовательности при условии, что нули обязательно находятся на первом и десятом месте в последовательности, равно числу способов разместить три нуля на восьми свободных позициях в последовательности и равно числу сочетаний из 8 элементов по 3: = = 56.

Оставшиеся 8 – 3 = 5 позиций в последовательности будут заполнены цифрами 1; 2; 3. Число способов осуществить это, с учетом возможности повторения, равно 35 = 243.

Т.о., число исходов, благоприятствующих событию A , равно m = ×35 = 56×243 = 13608.
Искомая вероятность события A равна:
P (A ) = = 0,013.
Ответ: P(A) = = 0,013.

Задача 3.
Имеется 100 одинаковых деталей, среди которых 3 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь без брака.

Решение. В этой задаче производится испытание – извлекается одна деталь. Число всех исходов испытания равно 100, т. к. может быть взята любая деталь из 100. Эти исходы несовместны, равновозможны, единственно возможны. Таким образом, Событие - появилась деталь без брака. Всего в партии 97 деталей без брака, следовательно, число исходов, благоприятных появлению события А равно 97 . Итак, Тогда
Задача 4.
Код банковского сейфа состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что наудачу выбранный код содержит различные цифры? Решение. Так как на каждом из шести мест в шестизначном шифре может стоять любая из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных шестизначных номеров по правилу произведения будет . Номера, в которых все цифры различны, - это размещения из 10 элементов (10 цифр) по 6. Поэтому число благоприятствующих исходов . Искомая вероятность равна
Задача 5.
Между шестью фирмами (А, Б, В, Г, Д, Е), занимающимися продажей компьютерной техники, проводится жеребьевка на предмет очередности предъявления своей продукции на выставке потенциальным потребителям. Какова вероятность того, что очередь будет выстроена по порядку, т. е. А, Б, В, Г, Д, Е? Решение. Исход испытания - случайное расположение фирм в очереди. Число всех возможных исходов равно числу всех перестановок из шести элементов (фирм), т.е.Число исходов, благоприятствующих событию : m= 1, если очередь выстроена по порядку. Тогда
Задача 6.
В компании 10 акционеров, из них трое имеют привилегированные акции. На собрание акционеров явилось 6 человек. Найти вероятность того, что среди явившихся акционеров:
а) все трое акционеров с привилегированными акциями отсутствуют;
б) двое присутствуют и один не явился. Решение
а) испытанием является отбор 6 человек из 10 акционеров. Число всех исходов испытания равно числу сочетаний из 10 по 6, т. е.

Пусть событие - среди шести человек нет ни одного с привилегированными акциями. Исход, благоприятствующий событию ,- отбор шести человек среди семи акционеров, не имеющих привилегированных акций. Число всех исходов, благоприятствующих событию А , будет
Искомая вероятность

б) пусть событие - среди шести явившихся акционеров двое с привилегированными акциями, а остальные четыре – с общими акциями. Число всех исходов, Число способов выбора двух человек из необходимых трех Число способов выбора оставшихся четырех акционеров среди семи с общими акциями Тогда число всех способов отбора по правилу произведения
Искомая вероятность равна

Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

• достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
• невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
• случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

• Равновозможными.
• Совместимыми.
• Несовместимыми.
• Противоположными (взаимоисключающими).
• Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

• Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
• Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
• Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
• Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
• Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
• Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
• Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

• A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
• B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
• C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

1. Бубновая.
2. Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.

Если вас интересует вопрос заголовка, вы наверняка студент или школьник, столкнувшийся с новым для себя предметом. Задачи теории вероятностей сейчас решают и школьники пятых классов продвинутых школ, и старшеклассники перед ЕГЭ, и студенты буквально всех специальностей — от географов до математиков. Что же это за предмет такой, и как к нему подойти?

Вероятность. Что это?

Теория вероятностей , как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов. Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.

Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события — явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах. Вероятность — это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 — событие практически невозможно, 1 — событие практически достоверно, 0,5 (или «50 на 50») — с равной вероятностью событие произойдет или нет.

Алгоритм решения типовых задач на нахождение вероятности

Подробнее с основами теории вероятностей можно ознакомиться, например, в онлайн учебнике. А теперь не будем ходить вокруг да около, и сформулируем примерную схему , по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события, а затем ниже на примерах проиллюстрируем ее применение.

• Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т.п.)
• Найти основной вопрос задачи вроде «вычислить вероятность того, что …» и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
• Событие записано. Теперь надо понять, к какой «схеме» теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения.

  Вероятность

  Ответьте на тестовые вопросы типа:

  • происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
  • если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
  • событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).

  Чем больше опыт решения задач, тем легче будет определить, какие формулы подходят.

• Выбрана формула (или несколько) для решения. Записываем все данные задачи и подставляем в данную формулу.
• Вуаля, вероятность найдена.

Готовые решения задач по любым разделам теории вероятностей, более 10000 примеров! Найди свою задачу:

Как решать задачи: классическая вероятность

Пример 1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».

Начинаем решение по пунктам, описанным выше.

• В задаче речь идет о выборе 3 студентов из группы, которые удовлетворяют определенным условиям.
• Вводим основное событие $X$ = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).
• Так как в задаче происходит только одно испытание и оно связано с отбором/выбором по определенному условию, речь идет о классическом определении вероятности. Запишем формулу: $P=m/n$, где $m$ – число исходов, благоприятствующих осуществлению события $X$, а $n$ – число всех равновозможных элементарных исходов.
• Теперь необходимо найти значения $m$ и $n$ для этой задачи. Сначала найдем число всех возможных исходов — число способов выбрать 3 студентов из 30. Так как порядок выбора не имеет значения, это число сочетаний из 30 по 3: $$n=C_{30}^3=\frac{30!}{3!27!}=\frac{28\cdot 29 \cdot 30}{1\cdot 2 \cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших «2». Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4 \cdot 5}{1\cdot 2}=10.$$
• Получаем вероятность: $$P(X)=\frac{m}{n}=\frac{10}{4060}=0,002.$$ Задача решена.

Еще примеры: Решенные задачи на классическое определение вероятности.

Как решать задачи: формула Бернулли

Пример 2. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

Снова по схеме решения задач на вероятность рассматриваем данную задачу:

• В задаче идет речь о серии одинаковых испытаний — бросаний монеты.
• Вводим основное событие $X$ = (При 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз).
• Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из $n$ бросков монет герб выпадет ровно $k$ раз: $$ P_{n}(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$$
• Записываем данные из условия задачи: $n=8, p=0,5$ (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и $k=5$
• Подставляем и получаем вероятность: $$ P(X)=P_{8}(5)=C_8^5 \cdot 0,5^5 \cdot (1-0,5)^{8-5}=\frac{8!}{5!3!}\cdot 0,5^8=\frac{6\cdot 7 \cdot 8}{1\cdot 2 \cdot 3} \cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.

Еще примеры: Решенные задачи на формулу Бернулли, решебник задач по теории вероятности.

И это все? Конечно, нет.

Выше мы упомянули только малую часть тем и формул теории вероятностей, для более подробного изучения вы можете посмотреть учебник онлайн на данном сайте (или скачать классические учебники по ТВ), ознакомиться со статьями по решению вероятностных задач, бесплатными примерами, воспользоваться онлайн калькуляторами. Удачи!

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Другие полезные статьи по теории вероятностей

Статьи о решении математических задач

Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием . Результат, исход испытания называется событием .

Пример 1 . Сдача экзамена — это испытание; получение определенной отметки — событие. Выстрел — это испытание; попадание в определенную область мишени — событие. Бросание игрального кубика — это испытание; появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости — событие.

Виды случайных событий

События называются несовместными , если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании.

Пример 2 :

• несовместные события : день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное;
• совместные события : идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное.

Несколько событий образуют полную группу (пространство исходов) , если в результате испытания появиться хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Пример 3 .

Урок алгебры » Случайные события. Вероятность случайного события.»

При сдаче зачета возможны следующие исходы: «зачтено», «не зачтено», «не явился»; при подбрасывании монеты – «орел», «решка».

Пример 4 . Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров, причем 2 из них — красные, 3 — синие и 1 — белый. Какова возможность вынуть наудачу из урны цветной шар? Можно ли охарактеризовать эту возможность числом?

Оказывается можно. Это число и называется вероятностью события А (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события .

Каждый из возможных результатов испытания (в примере 4, испытание состоит в извлечении шара из урны) называется элементарным исходом .

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. В примере 4 благоприятствуют событию А (появление цветного шара) 5 исходов.

События называются равновозможными , если есть основания считать, что не одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример 5 . Появление того или иного числа очков на брошенном игральном кубике – равновозможные события.

Вероятностью P(A) события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Вероятность P(A) события А определяется по формуле

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих A ; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

В примере 4 всего элементарных исходов 6 ; из них 5 благоприятствуют событию А . Следовательно, вероятность того что взятый шар окажется цветным, равна P(A) = 5/6 .

Пример 6 . Определить вероятность выпадения нечётного числа очков на кости.

Решение. При бросании кости событие A – «выпало нечётное число очков» можно записать как подмножество {1, 3, 5} пространства исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} (рис. 1).

Число всех равновозможных исходов n = 6, а число благоприятных событию A – m = 3. Следовательно,

Пример 7 . В урне находится 7 шаров: 2 белых, 4 черных и 1 красный. Вынимается один шар наугад. Какова вероятность того, что вынутый шар будет чёрным?

Решение. Занумеруем шары. Пусть, например, шары с номерами 1 и 2 – белые, с номерами 3, 4, 5 и 6 – чёрные, а красному шару присвоим номер 7 .

Так как мы можем вынуть только один из семи шаров, то общее число равновозможных исходов равно семи (n = 7 ). Из них 4 исхода – появление шаров с номерами 3, 4, 5 и 6 – приведут к тому, что вынутый шар будет чёрным (m = 4 ). Тем самым, вероятность события А , состоящего в появлении чёрного шара, равна

Вычислите вероятность того, что вынутый шар будет белым.

Пример 8 .

Вычислить вероятность выпадения в сумме 10 очков при бросании пары костей.

Решение. Рассмотрим все равновозможные исходы в результате бросания двух костей (их число равно 36 — рекомендуем записать в виде таблицы). Выпадение в сумме 10 очков (событие А ) возможно в трёх случаях – 4 очка на первой кости и 6 на второй, 5 очков на первой и 5 на второй, 6 очков на первой и 4 на второй. Поэтому вероятность события А (выпадения в сумме 10 очков) равна

Свойство 1 . Вероятность достоверного события А равна единице: Р(А) = 1 .

Свойство 2 . Вероятность невозможного события А равна нулю: Р(А) = 0 .

Свойство 3 . Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей :

0 £ P (A) £ 1.

Пример 9 . Так как вероятность выпадения 13 очков при бросании пары костей – невозможное событие, его вероятность равна нулю .

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Кроме этого, часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. По этой причине, наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение .

Статистическое определение вероятности

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:

где m – число появлений события А , n – общее число испытаний.

Классическая вероятность вычисляется до опыта, а относительная частота – после опыта .

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости .

Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события.

Таким образом, при достаточно большом количестве испытаний в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Пример 10 . Естествоиспытатель К. Пирсон терпеливо подбрасывал монету и после каждого бросания не ленился записывать полученный результат. Проделав эту операцию 24 000 раз, он обнаружил, что герб выпадал в 12 012 случаях. Вычисляя относительную частоту выпадения герба, он получил , что практически равно 1/2.

Многих интересует вопрос: возможно ли повлиять на случайные события, выявить какую-либо закономерность событий, получить тот результат, который желателен. Все явления, которые окружают нас, происходят и изменяются с какой-то долей случайности, неопределенности.

Со случайными событиями мы встречаемся чаще, чем это принято считать. Случайные факторы лежат в основе окружающей среды, экономики, политики, социальной и общественной жизни, они определяют течение любого процесса массового обслуживания - торговли, телефонной связи, транспортных услуг и медицинской помощи. Задача управления различного рода процессами, которая наиболее остро стоит перед современным обществом, состоит в том, чтобы научиться ориентироваться в мире случайностей и активно действовать, опираясь на скрытые специфические закономерности.

Все явления окружающей нас действительности можно рассматривать с точки зрения вероятности их наступления. Когда студент идет на экзамен, вероятность получения им хорошей оценки зависит от нескольких причин: подготовленности студента, удачно выбранного билета, самочувствия, настроя.

Экономиста может интересовать вероятность того, что цены на товар не вырастут, если не снизится объем его производства, или вероятность того, что застрахованный автомобиль не попадет в аварию.

Все эти события являются случайными и могут наступить или нет с некоторой долей неопределенности. Количественной мерой такой неопределенности является вероятность наступления случайного события, под которой понимают число, которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного случайного события.

Случайными событиями называют возможные результаты единичной операции, или испытания .

Под испытанием следует понимать процесс, включающий в себя определенные условия и приводящий к одному из нескольких возможных исходов .

Например: испытание - бросание монеты, случайное событие - выпадение герба. Испытание - рождение ребенка, случайное событие - пол ребенка - мужской.

Исходом опыта может быть результат наблюдения, измерения, оценки.

Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий.

Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием.

Событие называется случайным, если в результате испытания (опыта) оно может произойти, а может и не произойти.

Например, стрелок, производящий выстрел, может попасть или не попасть в цель. В этом случае испытание - это выстрел, а возможные элементарные исходы - попадание или непопадание в цель. Футбольная команда может участвовать в матче - это испытание, в результате которого могут наступить исходы, или элементарные события: выигрыш, проигрыш или ничья.

Оценка студента на экзамене - это случайное событие, которое состоит из элементарных событий: получение оценки «отлично», получение оценки «хорошо», получение оценки «удовлетворительно», получение оценки «неудовлетворительно».

Элементарные события можно классифицировать по мере их неопределенности как достоверные, невозможные и случайные.

Достовернымназывают событие, которое обязательно произойдет при определенном комплексе условий .

Например, если в ящике находятся только стандартные детали, то извлечение из него стандартной детали есть событие достоверное. Достоверным является и то, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Событие, которое не может произойти в результате данного испытания, называется невозможным .

Если в ящике все детали стандартные, то извлечение из него нестандартной детали есть событие невозможное. Квадрат вещественного числа не может быть отрицательным. Достоверные и невозможные события, вообще говоря, не являются случайными.

Случайные события. Вероятность (стр. 1)

Фундаментом для научного подхода к поиску ответов на вопросы подобного рода является теория вероятностей.

Зарождение теории вероятностей и формирование первых понятий этой ветви математики произошло в середине 17 века, когда Паскаль, Ферма, Бернулли попытались осуществить анализ задач связанных с азартными играми новыми методами. Скоро стало ясно, что возникающая теория найдет широкий круг применения для решения многих задач возникающих в различных сферах деятельности человека .

Производя достаточно большое количество опытов или испытаний, можно определить, как часто появляется событие, и вычислить вероятность его наступления. Вероятность, определенную таким образом, называют статистической или послеопытной. В некоторых случаях можно определить доопытную вероятность, которую называют классической.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов. Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех возможных исходов N. тогда для определения вероятности можно использовать формулу Р (А) = М/N .

Я провела эксперимент: попробовала вытащить из 15 шариков, 2 из которых красные, остальные зеленые, произвольным образом 2 шарика. Пыталась определить вероятность того, что оба шарика окажутся красными; оба шарика будут зелеными; один шарик будет красный, другой зеленый.

Предположенный перед проведением эксперимента результат оправдался: наиболее возможным исходом является вытаскивание 2 зеленых шариков, наименее возможным исходом является вытаскивание 2 красных шариков.

При сравнении практической и теоретической вероятности, обнаружилось довольно большое расхождение, причиной которого является малое количество проведенных испытаний.

Для получения более точного результата желательно проводить как можно больше испытаний, рассматривать всевозможные исходы испытаний и благоприятные исходы. Не забывать, что проверить это всегда можно и теоретически. При этом вероятности до проведения опыта и после проведения должны совпадать.

Проведя исследование по данному вопросу, я пришла к выводу: теория вероятности не влияет на случайные события, она только позволяет выяснить степень его наступления, а вероятность, посчитанная во время эксперимента, тем точнее, чем больше проведено испытаний.

Литература:

1. Кибзун А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами / А. И. Кибзун. - М.: Физматлит, 2002. - 224 с.
2. Кочетков Е. С., Смерчинская С. О., Соколов В. В. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006. - 240 с.
3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. - М.: Айрис-пресс, 2007. - 288 с.

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу , если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события $А$, если появление этого события влечет за собой появление события $А$.

Пример. В урне находится 8 пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от 1 до 8).

Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.

Вероятностью события $A$ называют отношение числа $m$ благоприятствующих этому событию исходов к общему числу $n$ всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу $$P(A)=\frac{m}{n}. \quad(1)$$

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству $0 \le P(A) \le 1$ .

Онлайн-калькуляторы

Большой пласт задач, решаемых с помощью формулы (1) относится к теме гипергеометрической вероятности. Ниже по ссылкам вы можете найти описание популярных задач и онлайн-калькуляторы для их решений:

• Задача про шары (в урне находится $k$ белых и $n$ черных шаров, вынимают $m$ шаров…)
• Задача про детали (в ящике находится $k$ стандартных и $n$ бракованных деталей, вынимают $m$ деталей…)
• Задача про лотерейные билеты (в лотерее участвуют $k$ выигрышных и $n$ безвыигрышных билета, куплено $m$ билетов…)

Примеры решений задач на классическую вероятность

Пример. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого шара не превосходит 10). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m =n =10. Следовательно, Р (А )=1. Событие А достоверное .. Количество элементарных исходов (количество карт)

Искомая вероятность
.

Формулы по теории вероятности онлайн

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте (скачать можно на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей). Если слово подчеркнуто, щелкнув на ссылке, вы перейдете к подробному описанию термина, примерам или вычислению на онлайн-калькуляторе. Используйте эти возможности!

А также для изучения тервера у нас есть:

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

I. Случайные события. Основные формулы онлайн

1. Основные формулы комбинаторики

Число перестановок $$P_n = n!

Учебник по теории вероятностей

1\cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot (n-1) \cdot n$$

Число размещений $$A_m^n = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n-m+1)$$

Число сочетаний $$C_n^m =\frac{A_n^m}{P_m}=\frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}$$

2. Классическое определение вероятности

$$P(A) = \frac{m}{n},$$ где $m$ — число благоприятствующих событию $A$ исходов, $n$ — число всех элементарных равновозможных исходов.

Подробнее о классической вероятности см. в онлайн-учебнике и калькуляторах решений.

3. Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

$$ P(A+B) = P(A)+P(B) $$

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

$$ P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) $$

Примеры решений и теория по алгебре событий тут.

4. Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B) $$

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B|A),\\ P(A\cdot B) =P(B)\cdot P(A|B). $$

$P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$,

$P(B|A)$ — условная вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$.

Подробнее об условной вероятности.

5. Формула полной вероятности

$$ P(A)=\sum_{k=1}^{n} P(H_k)\cdot P(A|H_k), $$

6. Формула Байеса (Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

$$ P(H_m|A) =\frac{P(H_m)\cdot P(A|H_m)}{P(A)} = \frac{P(H_m)\cdot P(A|H_m)}{\sum\limits_{k=1}^{n} P(H_k)\cdot P(A|H_k)}, $$

где $H_1, H_2, …, H_n$ — полная группа гипотез.

Примеры и теория на эту тему.

7. Формула Бернулли

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$ вероятность появления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании.

Еще полезное по формуле Бернулли теория и примеры, онлайн-калькуляторы.

8. Наивероятнейшее число наступления события

Наивероятнейшее число $k_0$ появления события при $n$ независимых испытаниях (где $p$ — вероятность появления события при одном испытании):

$$ np-(1-p) \le k_0 \le np+p. $$

Вычислить наивероятнейшее значение онлайн.

9. Локальная формула Лапласа

$$ P_n(k) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \varphi\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}} \right) $$

вероятность появления события ровно $k$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.

Значения функции $\varphi(x)$ берутся из таблицы.

10. Интегральная формула Лапласа

$$ P_n(m_1, m_2) = \Phi\left(\frac{m_2-np}{\sqrt{npq}} \right)-\Phi\left(\frac{m_1-np}{\sqrt{npq}} \right) $$

вероятность появления события не менее $m_1$ и не более $m_2$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $\Phi(x)$ берутся из таблицы.

Теория и примеры на формулы Муавра-Лапласа.

11. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности $p$

$$ P\left(\left| \frac{m}{n} -p\right| \le \varepsilon\right) = 2 \Phi\left(\varepsilon\cdot \frac{n}{\sqrt{p(1-p)}} \right) $$

$\varepsilon$ — величина отклонения, $p$ — вероятность появления события.

Решенные задачи по теории вероятностей

Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:

Каталог формул по теории вероятности онлайн

Полный список страниц с формулами:

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

В этой главе приводится краткий обзор основных понятий и результатов теории вероятностей, которые используются в курсе эконометрики.

Теория вероятностей исследует закономерности случайных явлений, изучает случайные величины, оценивает вероятности случайных событий.

Одно из основных понятий теории вероятностей – случайное событие . Под событием понимается любое явление, которое происходит в результате осуществления определенного комплекса условий. В теории вероятностей любое событие рассматривается как результат некоторого эксперимента , т.е. осуществления определенного комплекса условий (синонимами термина эксперимент являются опыт, испытание, наблюдение). В связи с этим часто вместо термина событие используется термин исход . Эксперимент, результат которого не предсказуем заранее в силу различных причин, называется случайным (вероятностным ). В частности, любое действие в экономике по своей сути является случайным экспериментом.

Событие, которое может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента, называется случайным . Если событие обязательно произойдет в условиях эксперимента, то оно называется достоверным . Событие, называется невозможным , если в условиях данного эксперимента оно никогда не произойдет.

Например, создание какой-либо фирмы в контексте получения прибыли является случайным экспериментом, поскольку результатом такого эксперимента может быть только случайное событие, т.е. прибыль может быть, а может и не быть. То, что спрос на бытовую технику упадет при резком снижении доходов населения, в экономике рассматривается как достоверное событие. То, что увеличение спроса на автомобили приведет к снижению их цены, рассматривается как невозможное событие.

В теории вероятностей события обычно обозначаются большими латинскими буквами, например A , B , C . Достоверное событие обозначается буквой W, а невозможное событие – символом Æ.

Следует отметить, что в теории вероятностей рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторить (воспроизвести) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере, теоретически). В связи с этим, в теории вероятностей имеют дело с повторением испытаний двух типов: 1) повторение испытаний для одного и того же объекта; 2) испытание многих сходных объектов. Например, можно исследовать продукцию, выпущенную каким-либо одним станком за определенный период времени, а можно исследовать продукцию, выпущенную несколькими одинаковыми станками, но в фиксированный момент времени. С точки зрения теории вероятностей такие серии экспериментов эквивалентны.

Чтобы охарактеризовать вероятность события числом, нужно установить единицу измерения вероятности. Здесь поступают следующим образом: достоверному событию приписывают вероятность, равную единице; невозможному – равную нулю. Таким образом, вероятность P (A ) события А должна удовлетворять следующим условиям:

1 о. P (A )=1, если А – достоверное событие ;

2 о. P (A )=0, если А – невозможное событие ;

3 о. 0<P (A )<1, если А – случайное событие .

При различных подходах к вероятности, величина P (A ) может трактоваться по-разному. В экономических исследованиях часто используются статистическое определение вероятности , т.е. под вероятностью события A понимается величина

где под n понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие A встречалось ровно m раз (конечно, число наблюдений n должно быть достаточно большим).

Пример 2.1. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные данные были представлены в виде таблицы:

Если акция выбрана случайно из набора в 246 акций, то чему равна вероятность того, что: а) она из числа тех акций, которые увеличились в цене; б) по ней выплачены дивиденды; в) по ней не выплачены дивиденды, и она не выросла в цене.

Решение. Используя статистическое определение вероятности, легко получаем:

а) ;

б) ;

г) . â

В задачах, использующих вероятностные количественные характеристики, приходится по вероятностям одних событий оценивать вероятности других событий. Для этого используются различные соотношения, в основе которых лежат теоремы сложения и умножения вероятностей.

События называются несовместными , если они не могут наблюдаться одновременно в одном и том же эксперименте.

Суммой событий A и B называется событие A+B , состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

Пример 2.2. В ходе исследования потребительского рынка проводили опрос потребителей. В частности, один из вопросов касался сорта зубной пасты, которую использует потребитель. Если известно, что 14% населения использует сорт A , а 9% – сорт B , то чему равна вероятность того, что случайно выбранный человек будет использовать одну из двух паст. (Предполагается, что в данный момент человек использует только одну пасту).

Решение. Пусть A A , а B – событие, состоящее в том, что выбранный человек использует пасту сорта B. Поскольку события A и B несовместные по условию задачи, то, используя теорему сложения вероятностей (2.2), получим

Если появление одного из событий не меняет вероятности появления другого события, то такие события называются независимыми .

Произведением событий A и B называется событие , состоящее в появлении одновременно обоих этих событий.

Вероятность произведения независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 2.3. Алмазы, возможно, вскоре станут использовать в качестве полупроводников в спутниках связи. Теория предсказывает, алмазные микросхемы будут более быстродействующими, термо- радиационностойкими, что особенно важно для приборов, работающих в космосе. По оценкам экспертов, вероятности этих трех событий равны 0,9; 0,9 и 0,95 соответственно. Предполагается, что обсуждением проекта по разработке алмазных микросхем стоит вести лишь в том случае, если имеется хотя бы 70% уверенности в том, что они будут обладать всеми тремя указанными свойствами. Должен ли обсуждаться проект?

Решение. Пусть A – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более быстродействующими, B – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более термостойкими, C – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более радиационностойкими. Поскольку события A , B и С независимы, то, используя теорему умножения вероятностей (2.3), получим

Таким образом, поскольку 0,7695>0,7, то предложенный проект следует обсуждать. â

В ряде случаев вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет. Такие события называются зависимыми .

Вероятность события A , вычисленная при условии, что имело место другое событие B , называется условной вероятностью события A и обозначается или .

Вероятность произведения двух событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже имело место:

Пример 2.4. Одна из наиболее сложных проблем рыночных исследований – отказ потребителей отвечать на вопросы о потребительских предпочтениях, либо, если опрос проводится по месту жительства, – отсутствие их дома на момент опроса. Предположим, что исследователь рынка с вероятностью в 0,94 верит, респондент согласится отвечать на вопросы анкеты, если окажется дома. Он также полагает, что вероятность того, что этот человек будет дома, равна 0,65. Имея такие данные, оцените процент заполненных анкет.

Решение. Пусть A – событие того, что респондент окажется дома. Вероятность этого события . Пусть B – событие того, что респондент согласится отвечать на вопросы. По условию задачи задана условная вероятность , т.е. вероятность того, что он согласится отвечать на вопросы, если он будет дома. Тогда, согласно теореме умножения вероятностей зависимых событий (2.4), вероятность того, что человек будет дома и согласится отвечать на вопросы, будет равна

т.е. процент заполненных анкет будет равен 61%. â

Вероятность суммы совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Пример 2.5. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,15. Вероятность того, что покупатель купит только пакет программ, равна 0,1. Вероятность того, что будут куплены и компьютер и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?

Решение. Пусть A – событие того, что покупатель приобретет компьютер, B – событие того, что покупатель приобретет пакет программ, тогда AB – событие того, что покупатель приобретет и компьютер, и пакет программ. Следовательно, вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе, будет равна

Два несовместных события A и называются противоположными , если при эксперименте одно из них обязательно произойдет. Иначе, для противоположных событий справедливы равенства:

Решение. Пусть A i – событие того, что i -й прохожий купит книгу. Вероятность этого события , а противоположного события . Тогда вероятность того, что хотя бы один из 20 прохожих купят книгу, будет равна

. â

Если событие B может произойти только с одним из несовместных событий A 1 , A 2 ,…, A n , образующих полную группу, т.е. , то вероятность события B может быть найдена по формуле полной вероятности :

Пример 2.7. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, товар будет иметь успех?

Решение. Пусть A 1 – событие того, что конкурент выпустит в продажу аналогичный продукт, A 2 – событие того, что конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт. Поскольку эти события несовместные и образуют полную группу, то и . По условию задачи и . В результате по формуле полной вероятности (2.9) находим

Предмет теории вероятностей . Случайные события и их классификация. Классическое определение вероятности . Общие принципы комбинаторики.

Вероятность относится к числу таких понятий, которыми мы охотно пользуемся в повседневной жизни, совсем не задумываясь об этом. Например, даже наша речь носит отпечаток стихийно-вероятностного подхода к окружающей нас действительности. Мы часто употребляем слова "вероятно ", "маловероятно ", "невероят­но" . Уже в этих словах имеется попытка оценить возможность появления того или иного события, т.е. попытка дать количественную оценку этой возможности. Идея выражать числами степень возможности появления тех или иных событий возникла после того, как люди попытались обобщить достаточно большое число наблюдений за явлениями, в которых проявляется свойство устойчивости, т.е. способность повторяться довольно часто.

Например, нельзя заранее определить результат одного подбрасывания монеты. Но если подбрасывать монету достаточно большое число раз, то почти наверняка можно утверждать, что примерно половину раз она упадет на "орла", а половину на "решку". Число подобных примеров, в которых интуитивное представление о численном значении вероятности того или иного события, можно привести очень много. Однако все подобные примеры сопровождаются неопределенными понятиями типа "честное" подбрасывание, "правильная" монета и т.п. Теория вероятностей стала наукой лишь тогда, когда были выявлены основные понятия теории вероятностей, четко сформулировано само понятие вероятности, построена вероятностная аксиоматическая модель.

Любая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, плоскости, линии, поверхности; в математическом анализе – функции, предела, дифференциала, интеграла; в механике – силы, массы, скорости, ускорения. Естественно, что такие понятия есть и в теории вероятностей. Одним из таких основных понятий является понятие случайного события .

1. Случайные события и их вероятности

1.1. Случайные события и их классификация

Под событием будем понимать любое явление, которое происходит в результате осуществления определенного комплекса условий. Осуществление этого комплекса условий называют экспериментом (опытом, испытанием ). Заметим, что в проведении опыта необязательно должен участвовать сам исследователь. Опыт можно поставить мысленно, или он может протекать независимо от него; в последнем случае исследователь выступает в качестве наблюдателя.

Событие называется достоверным , если оно непременно должно произойти при выполнении определенных условий. Так, достоверным является выпадение не более шести очков при бросании обычной игральной кости; утверждение, что вода является находится в жидком состоянии при +20 0 С в нормальных условиях, и т.п. Событие называется невозможным , если оно заведомо не наступит при выполнении определенных условий. Так, невозможным событием является утверждение, что можно извлечь более четырех тузов из обычной колоды карт; или утверждение Мюнхгаузена, что он мог поднять себя за волосы, и т.п. Событие называется случайным, если оно может либо произойти, либо не произойти при выполнении определенных условий. Например, выпадение «орла» при бросании монеты; попадание в цель при одном выстреле по мишени и т.п.

В теории вероятностей любое событие рассматривается как результат некоторого эксперимента. Поэтому события часто называют исходами . При этом исход того или иного эксперимента должен зависеть от ряда случайных факторов, т.е. любой исход должен являться случайным событием; в противном случае, такими событиями должны заниматься другие науки. Особо следует отметить, что в теории вероятностей рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторить (воспроизвести) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере теоретически). То есть, теория вероятностей изучает лишь такие события, в отношении которых имеет смысл не только утверждение об их случайности, но и возможна объективная оценка доли случаев их появления. В связи с этим, подчеркнем, что теория вероятностей не занимается изучением уникальных событий, как бы они ни были интересными сами по себе. Например, утверждение, что в данном месте в данное время произойдет землетрясение, относится к числу случайных событий. Однако подобные события уникальны, поскольку их нельзя воспроизвести.

Другой пример, событие, состоящее в том, что данный механизм проработает больше года, является случайным, но уникальным. Конечно, каждый механизм индивидуален по своим качествам, но этих механизмов может изготовляться очень много, причем изготовленных в одних и тех же условиях. Испытания многих сходных объектов дает ту информацию, которая позволяет оценить долю числа появления рассматриваемого случайного события. Таким образом, в теории вероятностей имеют дело с повторением испытаний двух типов : 1) повторение испытаний для одного и того же объекта ; 2) испытание многих сходных объектов .

В дальнейшем для краткости слово «случайный» будем опускать. События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д.

События A и B называются несовместными , если наступление одного из них исключает возможность появления другого. Например, при подбрасывании монеты могут наступить два события: выпадет "орел" или "решка". Однако, одновременно эти события, при одном подбрасывании, появится не могут. Если в результате испытания возможно одновременное появление событий A и B, то такие события называются совместными . Например, выпадение четного числа очков при подбрасывании игральной кости (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В) будут совместными, ибо выпадение шести очков означает наступление и события А, и события В.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет; в противном случае такие события называются зависимыми . Например, вероятность события того. что во второй раз из урны, содержащей белые и черные шары, будет вынут белый шар, не зависит от того, какой шар был вынут в первый раз, если он был возвращен обратно. Однако если первый шар не был возвращен обратно, то результат второго извлечения уже будет зависеть от первого, ибо состав шаров в урне уже изменится в зависимости от результата первого извлечения.

Вопрос . Зависимы или нет несовместные события?