Что такое уравнение? Уравнение

В курсе школьной математики, ребенок впервые слышит термин "уравнение". Что такое это, попробуем разобраться вместе. В данной статье рассмотрим виды и способы решения.

Математика. Уравнения

Для начала предлагаем разобраться с самим понятием, что это такое? Как гласят многие учебники математики, уравнение - это некоторые выражения, между которыми стоит обязательно знак равенства. В этих выражениях присутствуют буквы, так называемые переменные, значение которых и необходимо найти.

Это атрибут системы, который меняет свое значение. Наглядным примером переменных являются:

температура воздуха;
рост ребенка;
вес и так далее.

В математике они обозначаются буквами, например, х, а, b, с... Обычно задание по математике звучит следующим образом: найдите значение уравнения. Это значит, что необходимо найти значение данных переменных.

Разновидности

Уравнение (что такое, мы разобрали в предыдущем пункте) может быть следующего вида:

линейные;
квадратные;
кубические;
алгебраические;
трансцендентные.

Для более подробного знакомства со всеми видами, рассмотрим каждый в отдельности.

Линейное уравнение

Это первый вид, с которым знакомятся школьники. Они решаются довольно-таки быстро и просто. Итак, линейное уравнение, что такое? Это выражение вида: ах=с. Так не особо понятно, поэтому приведем несколько примеров: 2х=26; 5х=40; 1,2х=6.

Разберем примеры уравнений. Для этого нам необходимо все известные данные собрать с одной стороны, а неизвестные в другой: х=26/2; х=40/5; х=6/1,2. Здесь использовались элементарные правила математики: а*с=е, из этого с=е/а; а=е/с. Для того чтобы завершить решение уравнения, выполним одно действие (в нашем случае деление) х=13; х=8; х=5. Это были примеры на умножение, теперь просмотрим на вычитание и сложение: х+3=9; 10х-5=15. Известные данные переносим в одну сторону: х=9-3; х=20/10. Выполняем последнее действие: х=6; х=2.

Также возможны варианты линейных уравнений, где используется более одной переменной: 2х-2у=4. Для того чтобы решить, необходимо к каждой части прибавить 2у, у нас получается 2х-2у+2у=4-2у, как мы заметили, по левую часть знака равенства -2у и +2у сокращаются, при этом у нас остается: 2х=4-2у. Последним шагом делим каждую часть на два, получаем ответ: икс равен два минус игрек.

Задачи с уравнениями встречаются даже на папирусах Ахмеса. Вот одна из задач: число и четвертая его часть дают в сумме 15. Для ее решения мы записываем следующее уравнение: икс плюс одна четвертая икс равняется пятнадцати. Мы видим еще один пример по итогу решения, получаем ответ: х=12. Но эту задачу можно решить и другим способом, а именно египетским или, как его называют по-другому, способом предположения. В папирусе используется следующее решение: возьмите четыре и четвертую ее часть, то есть единицу. В сумме они дают пять, теперь пятнадцать необходимо разделить на сумму, мы получаем три, последним действием три умножаем на четыре. Мы получаем ответ: 12. Почему мы в решении пятнадцать делим на пять? Так узнаем, во сколько раз пятнадцать, то есть результат, который нам необходимо получить, меньше пяти. Таким способом решали задачи в средние века, он стал зваться методом ложного положения.

Квадратные уравнения

Кроме рассмотренных ранее примеров, существуют и другие. Какие именно? Квадратное уравнение, что такое? Они имеют вид ax 2 +bx+c=0. Для их решения необходимо ознакомиться с некоторыми понятиями и правилами.

Во-первых, нужно найти дискриминант по формуле: b 2 -4ac. Есть три варианта исхода решения:

дискриминант больше нуля;
меньше нуля;
равен нулю.

В первом варианте мы можем получить ответ из двух корней, которые находятся по формуле: -b+-корень из дискриминанта разделенные на удвоенный первый коэфициент, то есть 2а.

Во втором случае корней у уравнения нет. В третьем случае корень находится по формуле: -b/2а.

Рассмотрим пример квадратного уравнения для более подробного знакомства: три икс в квадрате минус четырнадцать икс минус пять равняется нулю. Для начала, как и писалось ранее, ищем дискриминант, в нашем случае он равен 256. Отметим, что полученное число больше нуля, следовательно, мы должны получить ответ состоящих из двух корней. Подставляем полученный дискриминант в формулу нахождения корней. В результате мы имеем: икс равняется пяти и минус одной третьей.

Особые случаи в квадратных уравнениях

Это примеры, в которых некоторые значения равны нулю (а, b или с), а возможно и несколько.

Для примера возьмем следующее уравнение, которое является квадратным: два икс в квадрате равняется нулю, здесь мы видим, что b и с равны нулю. Попробуем его решить, для этого обе части уравнения делим на два, мы имеем: х 2 =0. В итоге получаем х=0.

Другой случай 16х 2 -9=0. Здесь только b=0. Решим уравнение, свободный коэфициент переносим в правую часть: 16х 2 =9, теперь каждую часть делим на шестнадцать: х 2 = девять шестнадцатых. Так как у нас х в квадрате, то корень из 9/16 может быть как отрицательным, так и положительным. Ответ записываем следующим образом: икс равняется плюс/минус три четвертых.

Возможен и такой вариант ответа, как у уравнения корней вовсе нет. Посмотрим на такой пример: 5х 2 +80=0, здесь b=0. Для решения свободный член перекидываете в правую сторону, после этих действий получаем: 5х 2 =-80, теперь каждую часть делим на пять: х 2 = минус шестнадцать. Если любое число возвести в квадрат, то отрицательное значение мы не получим. По этому наш ответ звучит так: у уравнения корней нет.

Разложение трехчлена

Задание по квадратным уравнениям может звучать и другим образом: разложить квадратный трехчлен на множители. Это возможно осуществить, воспользовавшись следующей формулой: а(х-х 1)(х-х 2). Для этого, как и в другом варианте задания, необходимо найти дискриминант.

Рассмотрим следующий пример: 3х 2 -14х-5, разложите трехчлен на множетели. Находим дискриминант, пользуясь уже известной нам формулой, он получается равным 256. Сразу отмечаем, что 256 больше нуля, следовательно, уравнение будет иметь два корня. Находим их, как в предыдущем пункте, мы имеем: х= пять и минус одна третья. Воспользуемся формулой для разложения трехчлена на множетели: 3(х-5)(х+1/3). Во второй скобке мы получили знак равно, потому что в формуле стоит знак минуса, а корень тоже отрицательный, пользуясь элементарными знаниями математики, в сумме мы имеем знак плюса. Для упрощения, перемножим первый и третий член уравнения, чтобы избавиться от дроби: (х-5)(х+1).

Уравнения сводящиеся к квадратному

В данном пункте научимся решать более сложные уравнения. Начнем сразу с примера:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Можем заметить повторяющиеся элементы: (x 2 - 2x), нам для решения удобно заменить его на другую переменную, а далее решать обычное квадратное уравнение, сразу отмечаем, что в таком задании мы получим четыре корня, это не должно вас пугать. Обозначаем повторение переменной а. Мы получаем: а 2 -2а-3=0. Наш следующий шаг - это нахождение дискриминанта нового уравнения. Мы получаем 16, находим два корня: минус один и три. Вспоминаем, что мы делали замену, подставляем эти значения, в итоге мы имеем уравнения: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Решаем их в первом ответ: х равен единице, во втором: х равен минусу одному и трем. Записываем ответ следующим образом: плюс/минус один и три. Как правило, ответ записывают в порядке возрастания.

Кубические уравнения

Рассмотрим еще один возможный вариант. Речь пойдет о кубических уравнениях. Они имеют вид: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Примеры уравнений мы рассмотрим далее, а для начала немного теории. Они могут иметь три корня, так же существует формула для нахождения дискриминанта для кубического уравнения.

Рассмотрим пример: 3х 3 +4х 2 +2х=0. Как его решить? Для этого мы просто выносим х за скобки: х(3х 2 +4х+2)=0. Все что нам остается сделать - это вычислить корни уравнения в скобках. Дискриминант квадратного уравнения в скобках меньше нуля, исходя из этого, выражение имеет корень: х=0.

Алгебра. Уравнения

Переходим к следующему виду. Сейчас мы кратко рассмотрим алгебраические уравнения. Одно из заданий звучит следующим образом: разложить на множетели 3х 4 +2х 3 +8х 2 +2х+5. Самым удобным способом будет следующая группировка: (3х 4 +3х 2)+(2х 3 +2х)+(5х 2 +5). Заметим, что 8х 2 из первого выражения мы представили в виде суммы 3х 2 и 5х 2 . Теперь выносим из каждой скобки общий множитель 3х 2 (х2+1)+2х(х 2 +1)+5(х 2 +1). Мы видим, что у нас есть общий множитель: икс в квадрате плюс один, выносим его за скобки: (х 2 +1)(3х 2 +2х+5). Дальнейшее разложение невозможно, так как оба уравнения имеют отрицательный дискриминант.

Трансцендентные уравнения

Предлагаем разобраться со следующим типом. Это уравнения, которые содержат трансцендентные функции, а именно логарифмические, тригонометрические или показательные. Примеры: 6sin 2 x+tgx-1=0, х+5lgx=3 и так далее. Как они решаются вы узнаете из курса тригонометрии.

Функция

Завершающим этапом рассмотрим понятие уравнение функции. В отличии от предыдущих вариантов, данный тип не решается, а по нему строится график. Для этого уравнение стоит хорошо проанализировать, найти все необходимые точки для построения, вычислить точку минимума и максимума.

Уравнение - это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнение - значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.

В школьном курсе, как правило, рассматривают уравнения, в которых неизвестные принимают числовые значения. Числовое значение неизвестного, удовлетворяющее уравнению с одним неизвестным, называется корнем или решением этого уравнения. Набор чисел, удовлетворяющих уравнению с несколькими неизвестными, называется его решением.

В математике рассматривают также уравнения, в которых неизвестными являются целые числа (диофантовы уравнения), векторы (векторные уравнения), функции (дифференциальные, интегральные, функциональные уравнения) и объекты другой природы. Вместе с уравнением указывают его область определения (множество допустимых значений неизвестных); если это не сделано, то предполагается, что это - естественная общая область определения выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения.

Уравнение - одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую‑то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение (или систему уравнений) для определения неизвестной величины.

Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений окончательно сложилась в XVI в.; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита $x,y,z,…,$ а известные величины (параметры) - первыми $a,b,c,…$ идет от французского ученого Р. Декарта.

Обычный путь алгебраического (чаще говорят, аналитического) решения уравнения состоит в том, что с помощью преобразований его сводят к более простым уравнениям. Если все решения одного уравнения являются решениями другого, то второе уравнение называется следствием первого. Если каждое из двух уравнений - следствие другого (т. е. множества их решений совпадают), то такие уравнения называются равносильными. Применяя к обеим частям уравнения одно и то же преобразование, мы приходим к следствию этого уравнения. Если же это преобразование обратимо, то получается уравнение, равносильное данному. (Например, умножая обе части уравнения на одно и то же число, мы получаем следствие данного уравнения. Если это число отлично от нуля, то выполненное преобразование обратимо, так что полученное уравнение равносильно исходному).

Решая уравнение с одним неизвестным, мы пытаемся прийти к простейшим уравнениям, для решения которых есть готовые формулы. Это линейные уравнения, квадратные уравнения, уравнения вида $φ(x)=c$, где $c$ - число, а $φ$ - одна из основных элементарных функций: степенная $\varphi (x)={{x}^{n}}$, показательная $\varphi (x)={{a}^{x}}$, логарифмическая $\varphi (x)={{\log }_{a}}x$, тригонометрические $\varphi (x)=\sin x$, $\varphi (x)=\cos x$, $\varphi (x)=\mathrm{tg}\, x$.

Заметим, что запись общего решения уравнения $φ(x)=c$ требует введения функции $ψ$, обратной к функции $φ$. Если $\varphi (x)={{x}^{n}}$, то $\psi (c)=\sqrt[n]{c}$; если $\varphi (x)={{a}^{x}}$, то $\psi (c)={{\log }_{a}}c$; если $\varphi (x)=\sin x$ и $−π/2≤x≤π/2$, то $\psi (c)=\arcsin x$.

Как же сводятся уравнения к простейшим? Для конкретного типа уравнений (алгебраических, тригонометрических, иррациональных, показательных, логарифмических и т.п.) разработаны частные приемы решения. Из общих методов решения уравнений остановимся на трех, которые встречаются чаще всего.

Если левую часть уравнения $f(x)=0$ удается разложить на множители: $f(x)={{f}_{1}}(x)\cdot \ldots \cdot {{f}_{m}}(x),$ то оно распадается на уравнения ${{f}_{1}}(x)=0,$ ${{f}_{2}}(x)=0 …,$ ${{f}_{1}}(x)=0,$ объединение множеств их решений дает множество решений данного уравнения. Например, уравнение ${{x}^{3}}-7x+6=0$ можно решить так: $({{x}^{3}}-x)-(6x-6)=0,$ $x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0,$ $(x-1)({{x}^{2}}+x-6)=0.$ Решая уравнения $x−1=0$ и ${{x}^{2}}+x-6=0,$ находим все корни данного уравнения: $1, 2$ и $−3.$ Этот метод принято называть методом разложения на множители.

Часто удается упростить уравнение, принимая в качестве новой неизвестной некоторую функцию от старой неизвестной. Например, уравнение $\sin x+\cos x=\sin 2x$ можно свести к квадратному уравнению, положив $y=\sin x+\cos x.$ Тогда $\sin 2x={{y}^{2}}-1,$ и мы приходим к уравнению ${{y}^{2}}-y-1=0.$

Иногда удается решить уравнение, анализируя функциональные свойства его левой и правой частей.

Например, так как левая часть уравнения ${{2}^{x}}+{{3}^{x}}=5$ возрастает, а правая - постоянна, то это уравнение не может иметь более одного корня. Единственный корень $x=1$ легко угадывается.

Решая уравнение ${{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{5}}x=\sqrt{2},$ заметим, что при всех $x$ выполняются неравенства ${{\sin }^{3}}x\le {{\sin }^{2}}x,$ $co{{s}^{5}}x\le {{\cos }^{2}}x,$ откуда $si{{n}^{3}}x+{{\cos }^{5}}x\le$ ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1,$ а так как $\sqrt{2}>1,$ то данное уравнение не имеет корней.

Уравнение. Рис. 1.

Уравнение. Рис. 2.

До сих пор мы разбирали приемы решения уравнений, позволяющие найти корень уравнения как число или комбинацию известных функций от параметров. Однако далеко не все уравнения, возникающие на практике, можно решить подобным образом. Например, в начале XIX в. было доказано, что не существует общей формулы для решения алгебраических уравнений начиная с пятой степени. Да и в тех случаях, когда уравнение удается решить, формула для корней может быть чересчур громоздкой. Поэтому в математике разработаны различные методы приближенного решения уравнений. Простейший из них основан на том, что если функция $f(x)$ непрерывна во всех точках отрезка $$ и принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение $f(x)=0$ имеет на этом отрезке корень.

Приближенное решение уравнений тесно связано с построением графиков функций.

Например, построив график функции $y={{x}^{3}}+x,$ мы можем заключить, что уравнение ${{x}^{3}}+x=1$ имеет один корень и этот корень лежит на отрезке $$, более точно - на отрезке $$, еще более точно - на отрезке $$ (рис. 1). Эта информация практически более полезна, чем точная формула Кардано, выражающая этот корень:

$\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{27}}}+\sqrt{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{27}}}$

(все равно извлекать радикалы можно лишь приближенно). Для отыскания корней с любой степенью точности» существуют «быстрые» алгоритмы, основанные на методе последовательных приближений (см. Приближенные вычисления).

С помощью графика особенно удобно проводить исследование уравнений; например, по графику $y={{x}^{3}}-x$ (рис. 2) мы сразу видим, что уравнение ${{x}^{3}}-x=c$ имеет три корня при $\left| c \right| 2/\sqrt{3}.$

Решение уравнения

Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения

Решение уравнения - задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

При подстановке другого корня получается неправильное утверждение:

Таким образом, второй корень нужно отбросить, как посторонний.

Виды уравнений

Различают алгебраические , параметрические , трансцендентные , функциональные , дифференциальные и другие виды уравнений.

Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.

К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение , квадратное уравнение , кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени . Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.

Уравнение, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удается, применяют численные методы . Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал , в котором лежит корень, до определенного заранее заданного значения.

Примеры уравнений

См. также

Литература

Бекаревич, А. Б. Уравнения в школьном курсе математики / А. Б. Бекаревич. - М., 1968.
Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. - 2004. - № 1.
Каплан Я. В. Рівняння. - Киев: Радянська школа, 1968.
Уравнение - статья из Большой советской энциклопедии
Уравнения // Энциклопедия Кольера. - Открытое общество. 2000.
Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
Уравнение // Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985.

Ссылки

EqWorld - Мир математических уравнений - содержит обширную информацию о математических уравнениях и системах уравнений.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Антонимы :

Хаджимба, Рауль Джумкович
ЕС ЭВМ

Смотреть что такое "Уравнение" в других словарях:

УРАВНЕНИЕ - (1) математическая запись задачи о разыскании таких значений аргументов (см. (2)), при которых значения двух данных (см.) равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называют неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения… … Большая политехническая энциклопедия

УРАВНЕНИЕ - УРАВНЕНИЕ, уравнения, ср. 1. Действие по гл. уравнять уравнивать и состояние по гл. уравняться уравниваться. Уравнение в правах. Уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке;… … Толковый словарь Ушакова

УРАВНЕНИЕ - (equation) Требование того, чтобы математическое выражение принимало определенное значение. Например, квадратное уравнение записывается в виде: ах2+bх+с=0. Решением является такие значения х, при котором данное уравнение становится тождеством. В… … Экономический словарь

УРАВНЕНИЕ - математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны,… … Большой Энциклопедический словарь

УРАВНЕНИЕ - УРАВНЕНИЕ, два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнение значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в тождество, или установить … Современная энциклопедия

В математике рассматривают также уравнения, в которых неизвестными являются целые числа (диофантовы уравнения), векторы (векторные уравнения), функции (дифференциальные, интегральные, функциональные уравнения) и объекты другой природы. Вместе с уравнением указывают его область определения (множество допустимых значений неизвестных); если это не сделано, то предполагается, что это естественная общая область определения выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения.

Уравнение одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение (или систему уравнений) для определения неизвестной величины.

Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений окончательно сложилась в XVI в.; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита , , , …, а известные величины (параметры) - первыми , , , ... идет от французского ученого Р. Декарта.

Обычный путь алгебраического (чаще говорят, аналитического) решения уравнения состоит в том, что с помощью преобразований его сводят к более простым уравнениям. Если все решения одного уравнения являются решениями другого, то второе уравнение называется следствием первого. Если каждое из двух уравнений - следствие другого (т.е. множества их решений совпадают), то такие уравнения называются равносильными. Применяя к обеим частям уравнения одно и то же преобразование, мы приходим к следствию этого уравнения. Если же это преобразование обратимо, то получается уравнение, равносильное данному. (Например, умножая обе части уравнения на одно и то же число, мы получаем следствие данного уравнения. Если это число отлично от нуля, то выполненное преобразование обратимо, так что полученное уравнение равносильно исходному).

Решая уравнение с одним неизвестным, мы пытаемся прийти к простейшим уравнениям, для решения которых есть готовые формулы. Эго линейные уравнения, квадратные уравнении, уравнения вида , где - число, а - одна из основных элементарных функций: степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические , , .

Заметим, что запись общего решения уравнения требует введения функции , обратной к функции . Если , то ; если , то ; если и , то .

Если левую часть уравнения удается разложить на множители: , то оно распадается на уравнения , , …, , объединение множеств их решений дает множество решений данного уравнения. Например, уравнение можно решить так:

Решая уравнения и , находим все корни данного уравнения: 1, 2 и -3. Этот метод принято называть методом разложения на множители.

Часто удается упростить уравнение, принимая в качестве новой неизвестной некоторую функцию от старой неизвестной. Например, уравнение можно свести к квадратному уравнению, положив .Тогда , и мы приходим к уравнению .

Иногда удается решить уравнение, анализируя функциональные свойства его левой и правой частей.

Например, так как левая часть уравнения возрастает, а правая - постоянна, то это уравнение не может иметь более одного корня. Единственный корень легко угадывается.

Решая уравнение , заметим, что при всех выполняются неравенства , , откуда , а так как , то данное уравнение не имеет корней.

До сих пор мы разбирали приемы решения уравнений, позволяющие найти корень уравнения как число или комбинацию известных функций от параметров. Однако далеко не все уравнения, возникающие на практике, можно решить подобным образом. Например, в начале XIX в. было доказано, что не существует общей формулы для решения алгебраических уравнений начиная с пятой степени. Да и в тех случаях, когда уравнение удается решить, формула для корней может быть чересчур громоздкой. Поэтому в математике разработаны различные методы приближенного решения уравнений. Простейший из них основан на том, что если функция непрерывна во всех точках отрезка и принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение имеет на этом отрезке корень.

С помощью графика особенно удобно проводить исследование уравнений; например, по графику (рис. 2) мы сразу видим, что уравнение имеет три корня при , два - при и один - при .

Уравнение – одно из краеугольных понятий всей математики. Как школьной, так и высшей. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это очень простое понятие. Ниже сами убедитесь. :) Так что же такое уравнение?

То, что это слово однокоренное со словами "равный", "равенство", возражений, думаю, ни у кого не вызывает.

Уравнение – это два математических выражения, соединённых между собой знаком "=" (равно).

Но… не каких попало. А таких, в которых (хотя бы в одном) содержится неизвестная величина . Или, по-другому, переменная величина. Или, сокращённо, просто "переменная". Которая обычно обозначается буквой "х" .

Переменных может быть одна, может быть несколько. В школьной математике чаще всего рассматриваются уравнения с одной переменной. И мы тоже пока что будем рассматривать уравнения с одной переменной. С двумя переменными или более – в специальных уроках.

Что значит решить уравнение?

Переменная, входящая в уравнение, может принимать любые допустимые математикой значения. На то она и переменная. :) При каких-то значениях переменной получается верное числовое равенство, а при каких-то – нет.

Так вот:

Решить уравнение означает найти ВСЕ такие значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение получается верное равенство. Или, более научно, верное тождество. Или доказать, что таких значений переменной не существует.

Что такое верное равенство? Это равенство, не вызывающее сомнений даже у человека, абсолютно не отягощённого глубокими математическими познаниями. Например, 5=5, 0=0, -10=-10. И так далее. :)

Значения переменной, при подстановке которых достигается это самое верное равенство , называются очень красиво и научно - корни уравнения .

Корень может быть один, может быть несколько. А может быть и бесконечно много корней – целый интервал или даже вообще вся числовая прямая от –∞ до +∞ . Да, такое тоже бывает! Всё от конкретного уравнения зависит.)

А бывает и такое, что нельзя найти такие иксы, которые давали бы нам верное равенство. Принципиально нельзя. По определённым причинам. Нету таких иксов…

В таких случаях обычно говорят, что уравнение не имеет корней.

Для чего нужны уравнения?

Вопрос смешной. Для жизни! В школе, как правило, уравнения нужны для решения текстовых задач . Это, напоминаю, задачи , на работу, на проценты и многие другие.

А во взрослой жизни без уравнений невозможны было бы ответить даже на самые обычные, но жизненно важные вопросы повседневности: какая будет погода завтра, выдержит ли заданную нагрузку здание. Или лифт. Или самолёт. Куда попадёт ракета… И не было бы сейчас среди нас ни синоптиков, ни инженеров, ни бухгалтеров, ни экономистов, ни программистов… За ненадобностью. Внушает?)

Почему это так? А потому, что уравнениями описываются почти все известные человеку природные явления и процессы. Изменение давления и температуры воздуха с высотой, закон всемирного тяготения, размножение бактерий, радиоактивный распад, химические реакции, электричество, спрос и предложение – в основе всего этого лежат математические уравнения! Простые, сложные – всякие. Какое явление или ситуация, такое и уравнение.)

Итак, запоминаем:

Уравнения – очень мощный и универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

А какие бывают уравнения?

Уравнений в математике несметное количество. Самых разных видов. Но всё многообразие уравнений можно условно разделить всего на 4 категории:

1. ,

2. ,

3. (или дробно-рациональные),

4. Прочие.

Разные категории уравнений требуют и разного подхода к их решению: линейные уравнения решаются одним способом, квадратные – другим, дробные – третьим, тригонометрические, логарифмические, показательные и прочие – тоже решаются своими методами.

Прочих уравнений, разумеется, больше всего, да...) Это и иррациональные, и тригонометрические , и , и , и многие другие уравнения. И даже дифференциальные уравнения (для студентов), где роль неизвестного играет не число, а функция. Или даже семейство функций. :)

В соответствующих уроках мы подробно разберём все эти типы уравнений. А здесь у нас – базовые приёмы и правила.

Называются эти правила – тождественные (или – равносильные) преобразования уравнений . Их всего два. И нигде их не обойти. Так что знакомимся!

Как решать уравнения? Тождественные (равносильные) преобразования уравнений.

Решение любого уравнения заключается в поэтапном преобразовании входящих в него выражений. Но преобразований не абы каких, а таких, чтобы от шага к шагу суть всего уравнения не менялась . Несмотря на то, что после каждого преобразования уравнение будет видоизменяться и, в конечном счёте, станет совсем не похоже на исходное.

Такие преобразования в математике называются равносильными или тождественными . Их довольно много, но среди всего многообразия тождественных преобразований уравнений выделяется два базовых . О них и пойдёт речь в этом уроке. Да-да, всего два! Но – крайне важных! И каждое из них заслуживает отдельного внимания.

Применение этих двух тождественных преобразований в том или ином порядке гарантирует успех в решении 99% уравнений математики. Заманчиво, правда?

Итак, вперёд!

Первое тождественное преобразование:

К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной). Суть уравнения от этого не изменится.

Это преобразование вы применяете всюду, наивно думая, что переносите какие-то члены из одной части уравнения в другую, меняя знаки. :)

Например, такое крутое уравнение:

Тут и думать нечего, перебрасываем тройку вправо, меняя минус на плюс:

А что же происходит в действительности? А на самом деле вы… прибавляете к обеим частям уравнения тройку!

Вот что у вас происходит:

И результат получается тем же самым:

Вот и всё. Слева остаётся чистый икс (чего мы, собственно, и добиваемся), а справа – что уж получится. Но самое главное то, что от прибавления тройки к обеим частям суть всего уравнения не изменилась!

Дело в том, что привычный нам перенос слагаемых из одной части в другую со сменой знака – это просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования.

И зачем нам так глубоко копать? В уравнениях – незачем. Переносите себе спокойно и не парьтесь. Только знаки менять не забывайте.) А вот в неравенствах привычка к переносу может и слегка обескуражить, да…

Это было первое тождественное преобразование. Переходим ко второму.

Второе тождественное преобразование:

Обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

Это тождественное преобразование мы вы постоянно применяете, когда решаете что-нибудь совсем уж жуткое типа:

Тут каждому ясно, что х=3 . А вот как вы получили этот ответ? Подобрали? Угадали?

Чтобы не подбирать и не гадать (мы с вами математики, а не гадалки), нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на четвёрку. Которая нам и мешает.

Вот так:

Эта палка с делением означает, что на четвёрку делятся обе части нашего уравнения. Через дроби эта процедура выглядит так:

Слева четвёрки благополучно сокращаются, остаётся икс в гордом одиночестве. А справа при делении 12 на 4 получается, понятное дело, тройка. :)

И все дела.)

Звучит невероятно, но эти два (всего два!) простых преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики! Да-да, именно всех , я нисколько не преувеличиваю! От линейных и квадратных в школе до дифференциальных в ВУЗе.)

Ну что, посмотрим на тождественные преобразования уравнений в действии?

Применение тождественных преобразований к решению уравнений.

Начнём с первого тождественного преобразования. Переноса вправо-влево.

Пример для новичков:

1 – х = 3 – 2х

Дело нехитрое. Это . Работаем прямо по заклинанию: "С иксами влево, без иксов – вправо".

Эта мантра – универсальная инструкция по применению первого тождественного преобразования. Вот и смотрим на уравнение. Какое слагаемое с иксом у нас справа? Что? 2х ? Не-а!) Справа у нас -2х (минус два икс)! Поэтому при переносе в левую часть минус поменяется на плюс:

1 – х +2х = 3

Полдела сделано, иксы собрали слева. Осталось все числа собрать справа. Слева в уравнении стоит единичка. Опять вопрос – с каким знаком? Ответ "с никаким" не катит.) Слева перед единицей и вправду ничего не написано. А это значит, что перед ней стоит знак "плюс" . Так уж в математике повелось: ничего не написано – значит, плюс.)

И поэтому вправо единичка перенесётся уже с минусом :

-х + 2х = 3 - 1

Вот почти и всё. Слева приводим подобные, а справа – считаем. И получаем:

х = 2

Это было совсем примитивное уравнение.

Теперь пример покруче, для старшеклассников:

Решить уравнение:

Уравнение . Ну и что? Какая разница? Всё равно первым шагом делаем базовое тождественное преобразование ("С иксами влево ….") . Для этого слагаемое с иксом (то есть, - log 3 x ) переносим влево. Со сменой знака:

А числовое выражение (log 3 4 ) переносим вправо. Также со сменой знака, разумеется:

Вот и всё. Справа получилась чистая формула. Кто дружит с , тот в уме дорешает уравнение и получит:

х=3

Что? Хотите синусы? Пожалуйста, вот вам синусы:

И снова всё то же самое! Выполняем первое тождественное преобразование – переносим sin x влево (с минусом), а -0,25 переносим вправо (с плюсом):

Получили простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, решить которое (для знающих) также не составляет никакого труда.

Видите, насколько универсально первое равносильное преобразование! Встречается везде и всюду и не обойти его никак… Именно поэтому так важно уметь его делать на автомате и без ошибок.

Собственно, ошибиться здесь можно лишь в одном – забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательность никто не отменял, да…)

Ну что, продолжаем наши игры? Развлекаемся теперь со вторым преобразованием!)

Решить уравнение:

7х=28

Крутяк, прямо скажем.) Ладно, это эмоции…

Смотрим и соображаем: что нам мешает в этом уравнении? Что-что… Да семёрка мешает! Хорошо бы от неё избавиться. Да так, чтобы исходное уравнение не испортить.)

Но как? Перенести вправо? Ээээ… Стоп! Нельзя.) Семёрка с иксом умножением связана. Коэффициент, видите ли.) Нельзя её оторвать от икса и вправо перенести. Вот всё выражение 7х целиком – пожалуйста (вопрос – зачем?). А семёрку отдельно – никак нет.

Самое время про умножение/деление вспомнить! Нам ведь в ответе чистый икс нужен, не так ли? А семёрка – мешает. Вот и делим левую часть на семь. "Очищаем" икс от коэффициента. Так нам надо. Но тогда и правую часть тоже надо поделить на семь: этого уже математика требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 28 на 7 замечательно делится. Получится 4.

Ответ: х=4

Или такое уравнение:

Что здесь нам мешает? Дробь 1/6, не так ли? Вот давайте и избавимся от неё. Безопасно для уравнения.) Как? Ну, можно поступить аналогично – поделить обе части на эту самую 1/6. Но в уме это не очень удобно. Кое-кто и запутается…

Но мы же не только делить, мы ещё и умножать умеем!) Вспоминаем из младших классов, после какого действия у нас пропадает дробь? Правильно! Дробь у нас пропадает при умножении на число, равное (или кратное) её знаменателю. Вот и умножим обе части нашего уравнения на 6. Слева всё равно чистый икс получится, а умножение правой части на 6 – не самая трудная работа.)

Вот и всё.) Умножение обеих частей уравнения на нужное число позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, запросто можно и ошибок наляпать. Короче дорога – меньше ошибок!

Теперь снова на машину времени и - в старшие классы:

Решить уравнение:

Чтобы добраться до икса и тем самым решить это крутое тригонометрическое уравнение , нам надо сначала получить слева чистый косинус, безо всяких коэффициентов. А двойка мешает. :) Вот и делим на 2 всю левую часть:

Но тогда и правую часть тоже придётся разделить на двойку: это уже МАТЕМАТИКЕ надо. Делим:

Получили справа табличное значение косинуса . И теперь уравнение решается за милую душу.)

Вот и вся премудрость. Как видите, тождественные преобразования уравнений – штука полезная. И при этом не самая сложная. Перенос да умножение/деление. Однако далеко не у всех они получаются с первого раза и без ошибок, ох не у всех… Основные проблемы здесь две.

Проблема первая (для малоопытных):

Иногда ученик думает, что упрощение уравнений делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может уловить и понять это правило: в каких-то примерах начинают с домножения (или деления), в каких-то – с переноса. Где-то три раза переносят и ни разу не домножают…

Например, такое линейное уравнение:

10х + 5 = 5х – 20

С чего начинать? Можно начать с переноса:

10х – 5х = -20 - 5

А можно сначала поделить обе части на пятёрку, а затем уж переносить. Тогда сразу числа попроще станут:

Как видим, и так и сяк решать можно. И это – в примитивном примере! Вот и возникает у неопытных учеников вопрос: "Как правильно?"

По-всякому правильно! Кому как удобнее. :) Универсального рецепта здесь нет и быть не может. Математика предлагает вам на выбор два вида преобразований уравнений. А порядок этих самых преобразований зависит исключительно от исходного уравнения, а также от личных предпочтений и привычек решающего.

Проблема вторая (для всех...ну… почти):

Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки. Заключать выражения в скобки и раскрывать скобки. Умножать и делить дроби. Работать со степенями… Короче, в наличии весь набор элементарных действий математики. Со всеми вытекающими…

Обе эти проблемы устраняются только одним способом – практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания - легче. И в итоге не математика командует вами, а вы – математикой. :)