Угол поворота представляет собой основную физическую величину, которая характеризует такое движение тела или луча, при котором одна из его точек остается неподвижной. Соответственно этот угол определяется именно относительно неподвижной точки. Данная величина имеет свои единицу и размерность.
Инструкция
В современной физике угол поворота, как физическая величина, оценивается в единицах плоского угла. С целью определения значения плоского угла? используют уравнения, принятые в математике. В данном контексте можно применить один из двух ниже приведенных вариантов.Первый способ: ? = s/RЗдесь s обозначает длину дуги окружности, а R – длину радиуса окружности.
Воспоминание: Согласно теореме Пифагора сумма двух синих квадратов равна красному квадрату. Наклонная квадратная наложенная сетка имеет диапазон и уклон. Из теоремы косинуса справедливо. На следующем рисунке измените два растра на один поворот. Мы видим наклонную треугольную сетку с шириной сетки.
На следующем рисунке показан соответствующий треугольник. Когда мы снова вращаемся и рисуем третью сетку, отображается следующее изображение. Мы ясно видим треугольную сетку, состоящую из точной суперпозиции трех растров. Это приводит к следующему рисунку. Мы помещаем равносторонний треугольник с каждой стороны исходного треугольника.
Второй способ – воспользоваться уравнением обратной тригонометрической функции, которое выглядит следующим образом: ? = arctg (a/b), где b и a есть не что иное как соответствующие длины катетов прямоугольного треугольника.
При оценке угла поворота, применяя математические условия, в физике делается одна малозаметная замена, однако такой подход в свою очередь имеет определенные последствия. Дело в том, что, пытаясь оценить угол поворота вращающегося тела, на практике оценивается путь, который пройден по дуге окружности какой-либо точкой этого тела, что является подменой одной физической величины на другую, а именно в данном конкретном случае заменяется вращательная форма движения на орбитальную.
Применяемые равносторонние треугольники. Это как-то напоминает фигуру Пифагора. Сумма двух синих треугольников плюс поверхность исходного треугольника равна площади красного треугольника. Это можно доказать с помощью теоремы косинуса или, проще говоря, путем изменения двух синих треугольников.
Впечатление от позвонка производится небольшим вращением. В следующем примере показан угол поворота и коэффициент растяжения. При соответствующем выборе направления вращения получают вихри, расположенные в форме сетки. В треугольной сетке - обычный циклон.
В современной физике единицей измерения угла поворота принято считать «рад». Более спорной темы, чем вопрос относительно того, безразмерной или размерной, производной или же основной величиной является угол поворота, в современной физике найти пока довольно сложно.
Но вопросы остаются все равно, главными из которых являются следующие: почему в физике отсутствует уравнение, определяющее угол поворота по основным физическим величинам, если он является производной физической величиной- почему угол поворота имеет свою единицу измерения в СИ, если его принято считать безразмерной величиной.
Здесь также возможно несколько центров. Вальзер, Ганс: треугольники Пифагора в геометрии решетки. Вальзер, Ганс: треугольники Пифагора и геометрия решетки. Вклад в математику Уроки Хильдесхайм: Францбекер. Вальзер, Ганс: Геометрия решетки и пифагорейские треугольники.
Поиск этих преобразований в работах Эшера. Геометрическое преобразование или просто преобразование - это приложение, которое соответствует каждой точке плоскости другой точкой плоскости. Как следствие, цифры преобразуются в другие цифры. Наиболее обычными преобразованиями являются переводы, вращения, симметрии и гомотетии. Все они имеют форму фигур, но они могут уменьшить размер и изменить фигуру позиции.
Внимание, только СЕГОДНЯ!
Все интересное
Согласно определению кривой линии в аналитической геометрии она представляет собой некоторый набор точек. Если любую пару таких точек соединить отрезком, его можно будет назвать хордой. Вне пределов высших учебных заведений чаще всего рассматривают…
Начертив в любом круге два несовпадающих радиуса, вы обозначите в нем два центральных угла. Эти углы определят, соответственно, и две дуги на окружности. Каждая дуга, в свою очередь, зададут две хорды, два круговых сегмента и два сектора. Размеры…
Вращения являются прямыми движениями, то есть они сохраняют форму и размер фигур. Например, центр равностороннего треугольника является центром вращения третьего порядка. Потому что можно сопоставить фигуру себе, вращая вокруг нее 120 °, 240 ° и 360 °.
В геометрии удобно различать симметрию как геометрическое преобразование и симметрию как свойство фигуры. Симметрия этого типа совпадает с вращением того же центра и угла 180 °. Это, следовательно, прямое движение. Осевые симметрии являются обратными движениями, потому что для соответствия фигуре с ее симметрией необходимо удалить ее из плоскости и снова свернуть на другой грани.
Слово «угол» имеет различные толкования. В геометрии угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки – вершины. Когда речь идет о прямых, острых, развернутых углах, то подразумеваются именно…
Плоский треугольник в евклидовой геометрии составляют три угла, образованные его сторонами. Величины этих углов можно рассчитать несколькими способами. В силу того, что треугольник - одна из простейших фигур, существуют несложные формулы расчета,…
Имеются цифры, имеющие несколько осей симметрии. Например, прямоугольник имеет два, бесконечный квадрат четыре и бесконечный круг. Вращения: на концах этой гравюры вращение может быть четко воспринято относительно точки «центр». Симметрия: Симметрия здесь - так называемая «центральная», имеющая центральную точку 0 или где встречаются ребра рыбы.
Переводы: это происходит в каждой из частей, составляющих фигуру, но мы должны помнить, что они прикреплены к вращению при 120 °. Это можно увидеть, если мы посмотрим на зеленую, желтую и красную рыбу в центре фигуры. Гомотекия: это хорошо видно на концах рисунка, где цифры заметно уменьшаются.
Для описания движения тел по сложной траектории, в том числе по окружности, в кинематике используются понятия угловая скорость, угловое ускорение. Ускорение характеризует изменение угловой скорости тела во времени. В многочисленных кинематических…
Дуга - это часть замкнутой кривой, которая образует собой окружность. Если из центра окружности построить угол, лучи которого будут пересекать окружность в точках, совпадающих с концами дуги, то данный угол будет считаться центральным углом дуги. …
Вращения: вампиры и ангелы центра фигуры вращаются на 120º. Симметрия: симметрия здесь называется «осевой», это означает, что если мы разделим фигуру на ось, то и рисунки справа, и слева будут находиться на одном и том же расстоянии от оси. Можно также добавить, что эта цифра имеет 3 оси симметрии.
Перевод: их нелегко найти невооруженным глазом, но, если мы остановимся, чтобы увидеть концы фигуры, вы увидите, что ангелы переходят от одного конца к другому, точно так же, как вампиры. Изометрическое преобразование представляет собой геометрическое преобразование, которое сохраняет измерение сторон углов. Следующий ресурс посвящен этой теме, мы предлагаем вам ознакомиться с ней. Изометрическое преобразование представляет собой геометрическое преобразование, которое сохраняет измерение сторон и углов исходной фигуры.
В тригонометрии важным понятием является угол поворота . Ниже мы последовательно будем давать представление о повороте, и вводить все сопутствующие понятия. Начнем с общего представления о повороте, скажем о полном обороте. Далее перейдем к понятию угла поворота и рассмотрим его основные характеристики, такие как направление и величина поворота. Наконец, дадим определение поворота фигуры вокруг точки. Всю теорию по тексту будем снабжать поясняющими примерами и графическими иллюстрациями.
То есть изометрическое преобразование преобразует фигуру в другую, сравнимую с оригиналом. Преобразованиями, которые мы будем здесь изучать, являются перевод, вращение или вращение, осевая симметрия или отражение относительно оси и центральная симметрия или отражение относительно точки.
Когда мы перемещаем фигуру в направлении параллельно, то, что мы делаем, - это перевод. Обратите внимание, что перевод полностью определяется, если мы знаем вектор направления движения, так как с ним мы могли бы получить изображение всех точек фигуры.
Навигация по странице.
Что называют поворотом точки вокруг точки?
Сразу отметим, что наряду с фразой «поворот вокруг точки» будем также использовать словосочетания «поворот около точки» и «поворот относительно точки», что обозначает одно и то же.
Введем понятие поворота точки вокруг точки .
Сначала дадим определение центра поворота.
Перевод в декартовой системе. Пример: В каком положении находится точка А, если мы переместим ее в направлении? Решение. Применяя компоненты вектора перевода к точке А, получаем. Предположим, что отрезок фигуры переводится в направлении вектора и становится сегментом.
Обратите внимание, что спин полностью определяется, если мы знаем точку, которую будем использовать как центр вращения и угол поворота. По соглашению угол всегда будет измеряться против часовой стрелки. Вращение в декартовой системе. Вращение вокруг точки в декартовой системе легко определить, если угол поворота кратен 90 °.
Определение.
Точку, относительно которой осуществляется поворот, называют центром поворота .
Теперь скажем, что получается в результате поворота точки.
В результате поворота некоторой точки A относительно центра поворота O получается точка A 1 (которая в случае некоторого количества может совпадать с A ), причем точка A 1 лежит на окружности с центром в точке O радиуса OA . Иными словами, при повороте относительно точки O точка A переходит в точку A 1 , лежащую на окружности с центром в точке O радиуса OA .
Вращение в 90 ° вокруг. Вращение при 270 ° вокруг: точка Р становится точкой Р '. Это эквивалентно вращению при -90 °. Тогда выполняются следующие свойства. Осевая симметрия или Отражение относительно оси. Свойства аксиальной симметрии. Симметрия о осях в декартовой системе.
Поэтому ответ. Центральная симметрия или отражение относительно точки. Свойства центральной симметрии. Наблюдения: - При отражении отрезка на точке получается сегмент, параллельный и сравнимый с начальным сегментом. - Если точка совпадает с центром симметрии, то ее изображение является одной и той же точкой. - При отражении фигуры относительно точки получается фигура, конгруэнтная с начальным.
Считают, что точка O при повороте вокруг самой себя переходит в саму себя. То есть, в результате поворота вокруг центра поворота O точка O переходит в саму себя.
Также стоит отметить, что поворот точки А вокруг точки O стоит рассматривать как перемещение в результате движения точки А по окружности с центром в точке O радиуса OA .
Центральная симметрия относительно начала координат в декартовой системе. Для получения дополнительной информации об изометрических конгруэнциях и преобразованиях мы предлагаем следующие сайты: Центральная симметрия Конгруэнтность и изометрические преобразования.
Определите «преобразование» как движение, которое производит изменения в геометрической фигуре. Результат преобразования называется «изображением». «Изометрическое преобразование» - это такое, в котором исходная фигура и ее изображение являются конгруэнтными. Изометрические преобразования - это «симметрия», «перевод» и «ротация».
Для наглядности приведем иллюстрации поворота точки А вокруг точки O , на рисунках, расположенных ниже, перемещение точки А в точку А 1 покажем при помощи стрелки.
Полный оборот
Можно выполнить такой поворот точки A относительно центра поворота O , что точка А , пройдя все точки окружности, окажется на прежнем месте. При этом говорят, что точка А совершила вокруг точки O .
Определите обратное движение в 1 картезианском году. Определите движение вращения в картезианской плоскости. Для целей направления вращения он понимается как положительный угол поворота в направлении, противоположном стрелкам часов. Поднимайте и развивайте упражнения по пониманию, применению и анализу с охваченными темами.
Дадим графическую иллюстрацию полного оборота.
Если же не останавливаться на одном обороте, а продолжать движение точки по окружности, то можно выполнить два, три и так далее полных оборотов. На чертеже ниже справа показано, как могут быть произведены два полных оборота, а слева - три оборота.
Мы называем ассоциацию зеркал расположением двух зеркал, расположенных рядом друг с другом, с общим ребром. В этом случае могут возникать многочисленные отражения одного и того же луча света, т.е. луч света может отражаться несколько раз, генерируя большее количество изображений. Изображения формируются распределенными по окружности, центром которой является пересечение зеркал. Помните, что изображения, состоящие из плоских зеркал, симметричны, находясь на одинаковом расстоянии от зеркал как объектов.
Поэтому они образуют круг, фигуру, в которой все точки находятся на равном расстоянии от центра. Отметим одну интересную вещь: первые образы в сторону представляют собой изображения, образованные только отражением, таким образом, перевернутые сбоку. Следующие изображения формируются двумя отражениями. Второе отражение меняет процесс, и изображение сохраняет латеральность! Количество образов, образованных ассоциацией, можно вычислить по следующему уравнению.
Понятие угла поворота
Из введенного в первом пункте понятия поворота точки понятно, что существует бесконечное множество вариантов поворота точки А вокруг точки O . Действительно, любую точку окружности с центром в точке O радиуса OA можно рассматривать как точку A 1 , полученную в результате поворота точки А . Поэтому, чтобы отличать один поворот от другого, вводится понятие угла поворота .
Передвижные и вращающиеся зеркала
Где α - угол между двумя зеркалами. Хотя невозможно решить уравнение для α = 0, что будет означать параллельные зеркала, поскольку α уменьшается бесконечно, каждый раз ближе к нулю, количество изображений увеличивается бесконечно. Когда мы двигаем плоское зеркало, мы меняем расстояние между ним и объектом. При этом изменяется расстояние между изображением и зеркалом. Мы будем использовать в качестве эталонной системы землю, и мы рассмотрим движение зеркала, т.е. объект будет закреплен на земле, и зеркало будет двигаться.
Одной из характеристик угла поворота является направление поворота . По направлению поворота судят о том, как осуществляется поворот точки – по часовой стрелке или против часовой стрелки.
Другой характеристикой угла поворота является его величина . Углы поворота измеряются в тех же единицах, что и : наиболее распространены градусы и радианы. Здесь стоит заметить, что угол поворота может выражаться в градусах любым действительным числом из промежутка от минус бесконечности до плюс бесконечности, в отличие от угла в геометрии, величина которого в градусах положительна и не превосходит 180 .
При этом мы замечаем, что изображение перемещается вдвое больше смещения зеркала. Таким образом, мы заключаем, что скорость изображения по отношению к земле вдвое превышает скорость зеркала по отношению к земле. На рисунке показано плоское зеркало, переводящееся в переводе. Он также отображает изображения неподвижного объекта и соответствующие расстояния в соответствии с свойством симметрии.
Вывод: когда зеркало перемещается, изображение дважды переносит смещение в одном направлении, поэтому с удвоенной скоростью по отношению к неподвижному объекту. Используя аналогичные рассуждения, мы можем думать о том, что происходит с лучом света, отраженным плоским зеркалом, когда мы поворачиваем зеркало под углом θ.
Для обозначения углов поворота обычно используются строчные буквы греческого алфавита: и т.д. Для обозначения большого количества углов поворота часто применяют одну букву с нижними индексами, к примеру, 
.
Теперь поговорим о характеристиках угла поворота подробнее и по порядку.
Мы имеем, что Δ = 2θ, т.е. отраженный луч подвергается вращению, равному удвоенному углу поворота зеркала. Численное значение этого угла соответствует четырехкратному количеству образованных изображений. Ребенок держит бразильский флаг, как показано на рисунке.
Для иллюстрации законов отражения света можно провести очень простой эксперимент. Все рассматриваемые лучи света находятся в одной горизонтальной плоскости. Разрешение. Мы знаем, что радиус, отраженный плоским зеркалом, вращается при повороте зеркала и что угол поворота радиуса вдвое превышает угол поворота зеркала. Таким образом, для того чтобы радиус вращаться на 15 °, нам нужно, чтобы зеркало поворачивалось наполовину, т.е. 7 ° 30.
Направление поворота
Пусть на окружности с центром в точке O отмечены точки A и A 1 . В точку А 1 можно попасть из точки A , выполнив поворот вокруг центра O либо по часовой стрелке, либо - против часовой стрелки. Эти повороты логично считать различными.
Проиллюстрируем повороты в положительном и отрицательном направлении. На чертеже ниже слева показан поворот в положительном направлении, а справа – в отрицательном.
Величина угла поворота, угол произвольной величины
Угол поворота точки, отличной от центра поворота, полностью определяется указанием его величины, с другой стороны, по величине угла поворота можно судить о том, как этот поворот был осуществлен.
Как мы уже упоминали выше, величина угла поворота в градусах выражается числом от −∞ до +∞ . При этом знак плюс соответствует повороту по часовой стрелке, а знак минус – повороту против часовой стрелки.
Теперь осталось установить соответствие между величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.
Начнем с угла поворота, равного нулю градусам. Этому углу поворота отвечает перемещение точки А в себя. Другими словами, при повороте на 0 градусов вокруг точки O точка А остается на месте.
Переходим к повороту точки А вокруг точки O , при котором поворот происходит в пределах половины оборота. Будем считать, что точка А переходит в точку А 1 . В этом случае абсолютная величина угла AOA 1 в градусах не превосходит 180 . Если поворот происходил в положительном направлении, то величина угла поворота считается равной величине угла AOA 1 , а если поворот происходил в отрицательном направлении, то его величина считается равной величине угла АОА 1 со знаком минус. Для примера приведем рисунок, показывающий углы поворота в 30 , 180 и −150 градусов.
Углы поворота большие 180 градусов и меньшие −180 градусов определяются на основе следующего достаточно очевидного свойства последовательных поворотов : несколько последовательных поворотов точки A вокруг центра O равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.
Приведем пример, иллюстрирующий данное свойство. Выполним поворот точки А относительно точки O на 45 градусов, а затем еще повернем эту точку на 60 градусов, после чего повернем эту точку на −35 градусов. Обозначим промежуточные точки при этих поворотах как A 1 , A 2 и A 3 . В эту же точку А 3 мы могли попасть, выполнив один поворот точки A на угол 45+60+(−35)=70 градусов.
Итак, углы поворота, большие 180 градусов, мы будем представлять как несколько последовательных поворотов на углы, сумма величин которых дает величину исходного угла поворота. Например, угол поворота 279 градусов соответствует последовательным поворотам на 180 и 99 градусов, или на 90 , 90 , 90 и 9 градусов, или на 180 , 180 и −81 градус, или на 279 последовательных поворотов по 1 градусу.
Аналогично определяются и углы поворота, меньшие −180 градусов. К примеру, угол поворота −520 градусов можно интерпретировать как последовательные повороты точки на −180 , −180 и −160 градусов.
Подведем итог . Мы определили угол поворота, величина которого в градусах выражается некоторым действительным числом из промежутка от −∞ до +∞ . В тригонометрии мы будем работать именно с углами поворота, хотя слово «поворот» часто опускают, и говорят просто «угол». Таким образом, в тригонометрии мы будем работать с углами произвольной величины, под которыми будем понимать углы поворота.
В заключение этого пункта отметим, что полный оборот в положительном направлении соответствует углу поворота в 360 градусов (или 2·π радианов), а в отрицательном – углу поворота в −360 градусов (или −2·π рад). При этом удобно большие углы поворота представлять как некоторое количество полных оборотов и еще один поворот на угол величиной от −180 до 180 градусов. Для примера возьмем угол поворота 1 340 градусов. Несложно 1 340 представить как 360·4+(−100) . То есть, исходному углу поворота отвечают 4 полных оборота в положительном направлении и последующий поворот на −100 градусов. Другой пример: угол поворота −745 градусов можно интерпретировать как два оборота против часовой стрелки и последующий поворот на −25 градусов, так как −745=(−360)·2+(−25) .
Поворот фигуры вокруг точки на угол
Понятие поворота точки легко расширяется на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (речь идет о таком повороте, что и точка, относительно которой осуществляется поворот, и фигура, которую поворачивают, лежат в одной плоскости).
Под поворотом фигуры будем понимать поворот всех точек фигуры вокруг заданной точки на данный угол.
В качестве примера приведем иллюстрацию следующему действию: выполним поворот отрезка AB на угол относительно точки O , это отрезок при повороте перейдет в отрезок A 1 B 1 .
Список литературы.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
